东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三、计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} e^{x}(1-\cos y) \mathrm{d} x+e^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L: y=\sin x$ 在 $\displaystyle x \in[0, \pi]$ 的一段，方向由 $\displaystyle (\pi, 0)$ 指向 $\displaystyle (0,0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断向量场是否为保守场
记 $P(x,y)=e^x(1-\cos y)$，$Q(x,y)=e^x(\sin y - y)$。计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x \sin y$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x(\sin y - y)$。比较得 $\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x y \neq 0$，因此该向量场不是保守场，不能直接使用与路径无关的方法。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x(\sin y - y)$
提示：注意偏导数的计算要准确，特别是 $Q$ 对 $x$ 求导时 $y$ 视为常数。
步骤 2/6
目标：构造封闭回路并确定方向
原曲线 $L: y=\sin x$ 从 $(\pi,0)$ 到 $(0,0)$（顺时针方向）。补上直线段 $L_2: y=0$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$，则 $L_1+L_2$ 构成顺时针封闭回路。顺时针方向使用格林公式需加负号：$\oint_{L_1+L_2} P\,dx+Q\,dy = -\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$。
公式：格林公式（顺时针）：$\oint = -\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) d\sigma$
提示：注意曲线方向：原曲线从右向左，补线从左向右，整体为顺时针，与格林公式标准逆时针方向相反。
步骤 3/6
目标：应用格林公式计算封闭回路积分
计算被积函数：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = e^x(\sin y - y) - e^x \sin y = -y e^x$。代入格林公式：$\oint_{L_1+L_2} = -\iint_D (-y e^x) dx\,dy = \iint_D y e^x dx\,dy$。区域 $D$ 由 $y=0$，$y=\sin x$，$x=0$，$x=\pi$ 围成。
公式：$\iint_D y e^x dx\,dy = \int_{x=0}^{\pi} e^x \left( \int_{y=0}^{\sin x} y\,dy \right) dx$
提示：二重积分化为累次积分时，先对 $y$ 积分，注意上下限。
步骤 4/6
目标：计算二重积分
内层积分：$\int_{0}^{\sin x} y\,dy = \frac{1}{2}\sin^2 x$。原积分 $= \frac12 \int_0^\pi e^x \sin^2 x\,dx$。利用 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，得 $\frac14 \int_0^\pi e^x (1-\cos 2x)\,dx = \frac14 \left( \int_0^\pi e^x dx - \int_0^\pi e^x \cos 2x\,dx \right)$。计算得 $\int_0^\pi e^x dx = e^\pi - 1$，$\int_0^\pi e^x \cos 2x\,dx = \frac{e^\pi - 1}{5}$。因此 $\iint_D y e^x dx\,dy = \frac14 \left[ (e^\pi-1) - \frac{e^\pi-1}{5} \right] = \frac{e^\pi-1}{5}$。
公式：$\int e^x \cos 2x\,dx = \frac{e^x}{5}(\cos 2x + 2\sin 2x) + C$
提示：计算 $\int e^x \cos 2x\,dx$ 时可用分部积分或公式，注意代入上下限时 $\sin 2\pi=0$，$\cos 2\pi=1$。
步骤 5/6
目标：计算直线段 $L_2$ 的积分
直线段 $L_2$ 从 $(0,0)$ 到 $(\pi,0)$，$y=0$，$dy=0$。代入被积表达式：$e^x(1-\cos 0)\,dx + e^x(\sin 0 - 0)\cdot 0 = e^x(1-1)\,dx = 0$。因此 $\int_{L_2} = 0$。
公式：$\int_{L_2} P\,dx+Q\,dy = \int_0^\pi e^x(1-1)\,dx = 0$
提示：直线段上 $y$ 恒为0，$dy=0$，简化计算。
步骤 6/6
目标：得到原曲线积分结果
由 $\int_{L_1} = \oint_{L_1+L_2} - \int_{L_2}$，且 $\oint_{L_1+L_2} = \frac{e^\pi-1}{5}$，$\int_{L_2}=0$，故 $\int_{L_1} = \frac{e^\pi-1}{5}$。原曲线方向与回路方向一致，无需调整符号。
公式：$\int_{L} e^{x}(1-\cos y) \mathrm{d} x+e^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y = \frac{e^\pi-1}{5}$
提示：最终结果需确认方向：原曲线是顺时针回路的一部分，符号与格林公式计算结果一致。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
由于第一部分为 $0$，所以 $I=J=\dfrac{1-e^\pi}{5}$。
公式：\boxed{\dfrac{1-e^{\pi}}{5}}
提示：最终结果要化简并加上括号。
步骤 8/8
目标：得到原曲线积分结果
原积分 $\int_{L} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y = \oint_{L+L_1} - \int_{L_1} = -\frac{e^{\pi}-1}{5} - 0 = -\frac{e^{\pi}-1}{5}$。
提示：注意原曲线方向与封闭曲线方向的关系，此处相减。
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