东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四、设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle y^{2}-x+\sin y=0,(x \geq 1)$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle y=y(x)$ 经过点 $\displaystyle \left(\pi^{2}, \pi\right)$ ，试讨论 $\displaystyle y(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 的零点个数．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：隐函数存在性与导数分析
设 $F(x,y)=y^2 - x + \sin y = 0$，对 $x$ 求导得 $2y y' - 1 + (\cos y) y' = 0$，整理得 $y'(2y + \cos y) = 1$，因此 $y' = \frac{1}{2y + \cos y}$。代入已知点 $(\pi^2, \pi)$，分母 $2\pi + \cos \pi = 2\pi - 1 > 0$，故在该点 $y'>0$，函数局部递增。
公式：$y' = \frac{1}{2y + \cos y}$
提示：注意隐函数求导时，$\sin y$ 对 $x$ 的导数为 $\cos y \cdot y'$，不要遗漏链式法则。
步骤 2/5
目标：零点存在性判断
零点即 $y=0$ 的点。代入原方程 $y^2 - x + \sin y = 0$ 得 $0 - x + \sin 0 = -x = 0$，解得 $x=0$。但题目定义域为 $x \ge 1$，故在 $(1, +\infty)$ 内 $y(x)$ 不可能取零值，零点个数为 $0$。
公式：$y=0 \Rightarrow x=0 \notin (1,+\infty)$
提示：零点是指 $y(x)=0$ 对应的 $x$，不要误以为方程本身有根就是零点。
步骤 3/5
目标：极限分析：$y(x)$ 的符号与趋势
由原方程 $y^2 + \sin y = x$，当 $x \to +\infty$ 时左边必须趋于无穷。由于 $|\sin y| \le 1$，必有 $|y| \to +\infty$。已知 $x=\pi^2$ 时 $y=\pi>0$，且 $y' = 1/(2y+\cos y)$ 在 $y>0$ 时恒正（因为 $2y+\cos y \ge 2y-1 >0$ 当 $y>0.5$），且 $y$ 不可能穿过 $y=0$（无零点），故 $y(x)$ 始终为正且 $y \to +\infty$。
公式：$y^2 + \sin y = x$，$y>0$ 时 $y' > 0$
提示：注意 $\sin y$ 有界，因此 $y^2$ 主导无穷大趋势，且符号由已知点确定。
步骤 4/5
目标：极限计算：$\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x}$
由 $y^2 + \sin y = x$，两边除以 $x$ 得 $\frac{y^2}{x} + \frac{\sin y}{x} = 1$。由于 $|\sin y| \le 1$，$\frac{\sin y}{x} \to 0$，故 $\frac{y^2}{x} \to 1$，即 $\frac{y}{\sqrt{x}} \to 1$。于是 $\frac{y}{x} = \frac{y}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \to 1 \cdot 0 = 0$。
公式：$\frac{y^2}{x} \to 1 \Rightarrow \frac{y}{\sqrt{x}} \to 1 \Rightarrow \frac{y}{x} \to 0$
提示：不能直接认为 $y \sim \sqrt{x}$ 就得出 $y/x \sim 1/\sqrt{x} \to 0$，需严格用极限定义推导。
步骤 5/5
目标：综合结论
在 $(1,+\infty)$ 上 $y(x)$ 无零点，零点个数为 $0$；极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = 0$。
公式：零点个数：0；极限值：0
提示：注意零点个数是离散的计数，极限是连续趋势，两者结论不同但都需基于隐函数性质。
步骤 6/6
目标：总结结果
因此，$y(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上无零点，且极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = 0$。
提示：零点个数为0，极限为0。
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