东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二、已知 $\displaystyle u=u(x, y, z), v=v(x, y, z), w=w(x, y, z)$ ，由 $\displaystyle x=u+v+w, y=u v+u w+v w, z=u v w$.
所确定的，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出已知关系并求全微分
已知：
\[ x = u + v + w \]
\[ y = uv + uw + vw \]
\[ z = uvw \]
对三个方程分别求全微分：
\[ dx = du + dv + dw \]
\[ dy = (v + w) du + (u + w) dv + (u + v) dw \]
\[ dz = vw \, du + uw \, dv + uv \, dw \]
公式：\begin{cases} du + dv + dw = dx \\ (v+w) du + (u+w) dv + (u+v) dw = dy \\ vw\, du + uw\, dv + uv\, dw = dz \end{cases}
提示：注意全微分时，将 u, v, w 视为函数，x, y, z 视为自变量，微分形式要准确。
步骤 2/6
目标：建立线性方程组并写出系数矩阵
将 du, dv, dw 视为未知量，得到线性方程组：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ v+w & u+w & u+v \\ vw & uw & uv \end{pmatrix} \begin{pmatrix} du \\ dv \\ dw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \]
系数矩阵记为 A。
公式：A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ v+w & u+w & u+v \\ vw & uw & uv \end{pmatrix}
提示：注意矩阵元素与变量顺序对应，避免混淆。
步骤 3/6
目标：计算系数矩阵的行列式 D
按第一行展开计算行列式：
\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ v+w & u+w & u+v \\ vw & uw & uv \end{vmatrix} \]
计算各余子式：
\[ M_{11} = (u+w)(uv) - (u+v)(uw) = u^2(v-w) \]
\[ -M_{12} = -[(v+w)(uv) - (u+v)(vw)] = v^2(w-u) \]
\[ M_{13} = (v+w)(uw) - (u+w)(vw) = w^2(u-v) \]
因此：
\[ D = u^2(v-w) + v^2(w-u) + w^2(u-v) \]
因式分解得：
\[ D = (u-v)(v-w)(w-u) \]
公式：D = (u-v)(v-w)(w-u)
提示：因式分解结果具有轮换对称性，可验证展开后与原式一致。
步骤 4/6
目标：求 ∂u/∂x
令 dy=0, dz=0，右端列为 (dx, 0, 0)^T，用克莱姆法则。将第一列替换为 (1,0,0)^T 得：
\[ D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & u+w & u+v \\ 0 & uw & uv \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} u+w & u+v \\ uw & uv \end{vmatrix} = u^2(v-w) \]
因此：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{D_1}{D} = \frac{u^2(v-w)}{(u-v)(v-w)(w-u)} \]
约去 (v-w) 并化简符号：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u^2}{(u-v)(u-w)} \]
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u^2}{(u-v)(u-w)}
提示：注意 (w-u) = -(u-w)，化简时符号要仔细处理。
步骤 5/6
目标：求 ∂u/∂y
令 dx=0, dz=0，右端列为 (0,1,0)^T，替换第一列得：
\[ D_2 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & u+w & u+v \\ 0 & uw & uv \end{vmatrix} \]
按第一列展开，第二行第一列元素为1，代数余子式为 (-1)^{2+1} = -1，余子式为：
\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ uw & uv \end{vmatrix} = uv - uw = u(v-w) \]
所以：
\[ D_2 = 1 \cdot (-1) \cdot u(v-w) = -u(v-w) \]
因此：
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{D_2}{D} = \frac{-u(v-w)}{(u-v)(v-w)(w-u)} \]
约去 (v-w) 并化简：
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{u}{(u-v)(u-w)} \]
公式：\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{u}{(u-v)(u-w)}
提示：注意代数余子式的符号 (-1)^{i+j}，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：求 ∂u/∂z
令 dx=0, dy=0，右端列为 (0,0,1)^T，替换第一列得：
\[ D_3 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & u+w & u+v \\ 1 & uw & uv \end{vmatrix} \]
按第一列展开，第三行第一列元素为1，代数余子式为 (-1)^{3+1} = 1，余子式为：
\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ u+w & u+v \end{vmatrix} = (u+v) - (u+w) = v - w \]
所以：
\[ D_3 = 1 \cdot 1 \cdot (v-w) = v-w \]
因此：
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{D_3}{D} = \frac{v-w}{(u-v)(v-w)(w-u)} \]
约去 (v-w) 并化简：
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{(u-v)(u-w)} \]
公式：\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{(u-v)(u-w)}
提示：注意行列式展开时选择含1的行或列可简化计算。
步骤 7/8
目标：求 $\frac{\partial u}{\partial z}$：固定 $x,y$ 不变
令 $dx=0, dy=0$，方程组为：
\[
\begin{cases}
du + dv + dw = 0 \\
(v+w)du + (u+w)dv + (u+v)dw = 0 \\
vw\,du + uw\,dv + uv\,dw = dz
\end{cases}
\]
由第一式 $dw = -du - dv$，代入第二、三式化简得：
\[
\begin{cases}
(w-u)du + (w-v)dv = 0 \\
v(w-u)du + u(w-v)dv = dz
\end{cases}
\]
公式：\begin{cases} (w-u)du + (w-v)dv = 0 \\ v(w-u)du + u(w-v)dv = dz \end{cases}
提示：注意此处第二式化简结果与求 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 时不同，右边为 $0$，第三式右边为 $dz$。
步骤 8/8
目标：解出 $du$ 得到 $\frac{\partial u}{\partial z}$
由第一式得 $(w-u)du = -(w-v)dv$，即 $dv = -\frac{w-u}{w-v}du$。代入第二式：
\[
v(w-u)du + u(w-v)\left(-\frac{w-u}{w-v}du\right) = dz
\]
化简左边：
\[
v(w-u)du - u(w-u)du = (v-u)(w-u)du = dz
\]
因此：
\[
du = \frac{dz}{(v-u)(w-u)} = \frac{dz}{(u-v)(u-w)}
\]
所以：
\[
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{(u-v)(u-w)}
\]
公式：\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{(u-v)(u-w)}
提示：注意符号处理：$(v-u) = -(u-v)$，$(w-u) = -(u-w)$，乘积后负负得正，分母为 $(u-v)(u-w)$。
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