东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，又 $\displaystyle f(0)=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有
$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)| \text {, 其中 } M \text { 为非负常数. }
$$
证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和证明目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可微，且满足 $f(0)=0$。对于任意 $x \in [0,1]$，有不等式 $|f'(x)| \leq M|f(x)|$，其中 $M \geq 0$ 为常数。需要证明 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒等于零。
公式：$f(0)=0$, $|f'(x)| \leq M|f(x)|$
提示：注意 $M$ 是非负常数，可能为零；若 $M=0$，则 $f'(x)=0$，结合 $f(0)=0$ 直接得到 $f(x)\equiv 0$。
步骤 2/4
目标：假设存在点使函数值为正，导出矛盾
假设存在某个 $x_0 \in (0,1]$ 使得 $f(x_0) > 0$。由于 $f$ 可微，在 $x_0$ 附近考虑。由条件 $|f'(x)| \leq M|f(x)|$，当 $f(x)>0$ 时，有 $f'(x) \leq M f(x)$。移项得 $f'(x) - M f(x) \leq 0$。两边乘以积分因子 $e^{-Mx}$，得到 $\frac{d}{dx}\left(e^{-Mx} f(x)\right) \leq 0$。因此函数 $h(x)=e^{-Mx}f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调不增。由于 $h(0)=e^{0}f(0)=0$，对任意 $x>0$ 有 $h(x) \leq h(0)=0$，即 $e^{-Mx}f(x) \leq 0$，从而 $f(x) \leq 0$，与假设 $f(x_0)>0$ 矛盾。
公式：$\frac{d}{dx}\left(e^{-Mx} f(x)\right) \leq 0$
提示：这里利用了 $f(x)>0$ 时 $|f(x)|=f(x)$，从而将绝对值不等式转化为微分不等式。注意积分因子法的使用条件。
步骤 3/4
目标：假设存在点使函数值为负，导出矛盾
假设存在某个 $x_1 \in (0,1]$ 使得 $f(x_1) < 0$。此时 $|f(x)| = -f(x)$，由条件 $|f'(x)| \leq M|f(x)|$ 可得 $f'(x) \geq -M f(x)$（取左边不等式）。移项得 $f'(x) + M f(x) \geq 0$。两边乘以积分因子 $e^{Mx}$，得到 $\frac{d}{dx}\left(e^{Mx} f(x)\right) \geq 0$。因此函数 $g(x)=e^{Mx}f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调不减。由于 $g(0)=f(0)=0$，对任意 $x>0$ 有 $g(x) \geq g(0)=0$，即 $e^{Mx}f(x) \geq 0$，从而 $f(x) \geq 0$，与假设 $f(x_1)<0$ 矛盾。
公式：$\frac{d}{dx}\left(e^{Mx} f(x)\right) \geq 0$
提示：当 $f(x)<0$ 时，$|f(x)|=-f(x)$，注意不等式方向的处理。
步骤 4/4
目标：综合结论，完成证明
由前两步可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1]$ 上既不能取正值也不能取负值，因此对任意 $x \in (0,1]$ 必有 $f(x)=0$。又已知 $f(0)=0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒等于零。
公式：$f(x) \equiv 0, \forall x \in [0,1]$
提示：证明的关键在于利用积分因子将微分不等式转化为单调性，从而利用边界条件推出矛盾。
步骤 5/5
目标：总结证明过程
通过构造平方函数 $\phi(x)=f^2(x)$，利用导数条件得到微分不等式，再结合积分因子和初始条件，证明了 $\phi(x)$ 恒为零，从而 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒为零。
公式：f(x) \equiv 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：本题本质是Gronwall不等式的一个特例，也可直接对 $|f(x)|$ 积分得到相同结论。
步骤 6/8
目标：利用第二个不等式构造单调递增函数
由 $h'(x) \geq -2M h(x)$ 得 $h'(x) + 2M h(x) \geq 0$，即 $(e^{2Mx} h(x))' \geq 0$，因此 $e^{2Mx} h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
公式：$(e^{2Mx} h(x))' \geq 0$
提示：注意与第一步构造的指数因子符号相反。
步骤 7/8
目标：由单调性得到 $h(x) \geq 0$
由于 $e^{2Mx} h(x)$ 单调递增且 $h(0)=0$，所以 $e^{2Mx} h(x) \geq e^{0} h(0) = 0$，即 $h(x) \geq 0$。
公式：$e^{2Mx} h(x) \geq 0$
提示：注意 $e^{2Mx} > 0$，所以 $h(x) \geq 0$。
步骤 8/8
目标：得出结论
由 $h(x) \leq 0$ 和 $h(x) \geq 0$ 得 $h(x) = 0$，即 $f^2(x) = 0$，所以 $f(x) = 0$ 对任意 $x \in [0,1]$ 成立。
公式：$f(x) \equiv 0$
提示：注意 $h(x) \geq 0$ 是显然的，但这里通过不等式推导得到，确保严谨性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。