东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六、若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足
$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq a_{n}, \forall n \geq 1 .
$$
证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件并确定证明方向
已知正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，即其部分和数列 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ 收敛，因此 $\{S_n\}$ 是柯西列。同时，数列 $\{x_n\}$ 满足 $|x_{n+1} - x_n| \le a_n$ 对所有 $n \ge 1$ 成立。要证明 $\{x_n\}$ 收敛，我们采用柯西收敛准则。
公式：$|x_{n+1} - x_n| \le a_n$
提示：注意正项级数收敛意味着其通项趋于0，但这里需要的是部分和序列的柯西性质，而不仅仅是通项趋于0。
步骤 2/5
目标：将任意两项之差用递推差累加表示
对于任意 $m > n$，将 $x_m - x_n$ 写成相邻项差的和：
$$x_m - x_n = (x_{n+1} - x_n) + (x_{n+2} - x_{n+1}) + \dots + (x_m - x_{m-1}).$$
由三角不等式，有
$$|x_m - x_n| \le |x_{n+1} - x_n| + |x_{n+2} - x_{n+1}| + \dots + |x_m - x_{m-1}|.$$
公式：$|x_m - x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1} - x_k|$
提示：累加时注意下标范围：从 $n$ 到 $m-1$，共 $m-n$ 项。
步骤 3/5
目标：利用已知条件放缩为级数部分和
根据条件 $|x_{k+1} - x_k| \le a_k$，代入上式得：
$$|x_m - x_n| \le a_n + a_{n+1} + \dots + a_{m-1} = \sum_{k=n}^{m-1} a_k.$$
公式：$|x_m - x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} a_k$
提示：这里 $a_k$ 是正项，所以累加和就是部分和之差 $S_{m-1} - S_{n-1}$。
步骤 4/5
目标：应用级数收敛的柯西性质
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，所以其部分和数列 $\{S_n\}$ 是柯西列。对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m-1 \ge n > N$ 时，有
$$\sum_{k=n}^{m-1} a_k = S_{m-1} - S_{n-1} < \varepsilon.$$
于是对同样的 $N$，当 $m > n > N$ 时，就有 $|x_m - x_n| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n>N: \sum_{k=n}^{m-1} a_k < \varepsilon$
提示：注意柯西列定义中要求 $m,n$ 足够大，这里取 $n > N$ 即可保证 $n-1 \ge N$ 或 $n$ 本身大于 $N$，细节上需确保下标对应正确。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上述推导，$\{x_n\}$ 是柯西列。根据实数完备性定理，实数系中的柯西列必收敛。因此数列 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：柯西收敛准则：$\{x_n\}$ 收敛 $\iff$ $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m,n>N: |x_m - x_n| < \varepsilon$
提示：实数完备性是分析学的基础，柯西列收敛等价于数列收敛，无需额外条件。
步骤 6/6
目标：由柯西列推出数列收敛
在实数范围内，柯西列必收敛。因此数列 $\{x_n\}$ 收敛。
公式：$\{x_n\}$ 是柯西列 $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ 收敛
提示：实数完备性是关键，柯西收敛准则保证了这一点。
步骤 7/7
目标：得出结论
由柯西收敛准则，实数域中的柯西列必收敛，故数列 $\{x_n\}$ 收敛。
提示：实数完备性是柯西收敛准则成立的基础。
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