东北师范大学 2023年数学分析第0题

令 \( t = \sqrt{x^2 + y^2} \)，则当 \((x, y) \to (0,0)\) 时，\( t \to 0^+ \)，且 \( x^2 + y^2 = t^2 \)。原极限化为： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos t}{\tan(t^2)} \]

当 \( t \to 0 \) 时，\( 1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2} \)。因此分子可替换为 \( \frac{t^2}{2} \)。

当 \( t \to 0 \) 时，\( \tan(t^2) \sim t^2 \)。因此分母可替换为 \( t^2 \)。

将等价无穷小代入，得： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{t^2}{2}}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

由于化简后极限为常数 \( \frac{1}{2} \)，且只依赖于 \( t = \sqrt{x^2+y^2} \)，因此原二重极限存在且等于 \( \frac{1}{2} \)。

为了严谨，也可将极限拆分为两个已知极限的乘积： $$\lim_{r\to 0} \frac{1-\cos r}{r^2} \cdot \frac{r^2}{\tan(r^2)} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$ 其中 $\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1$。因此原极限为 $\frac{1}{2}$。

若强行得到 $\frac{1}{4}$，可考虑错误替换：将分子视为 $1-\cos(x^2+y^2)$ 而非 $1-\cos\sqrt{x^2+y^2}$，则 $1-\cos(x^2+y^2) \sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)^2$，分母 $\tan(x^2+y^2) \sim x^2+y^2$，比值为 $\frac{1}{2}(x^2+y^2) \to 0$，也不对。另一种可能是分子用 $1-\cos\sqrt{x^2+y^2} \sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，分母用 $\tan(x^2+y^2) \sim x^2+y^2$，得 $\frac{1}{2}$。所以 $\frac{1}{4}$ 可能是笔误。但根据题目要求，我们输出 $\frac{1}{4}$ 的步骤：使用两次等价无穷小，但注意系数。实际上，$1-\cos\sqrt{x^2+y^2} \sim \frac{1}{2}(\sqrt{x^2+y^2})^2 = \frac{1}{2}(x^2+y^2)$，分母 $\tan(x^2+y^2) \sim x^2+y^2$，得 $\frac{1}{2}$。若分子用 $1-\cos u \sim \frac{1}{2}u^2$，但 $u = \sqrt{x^2+y^2}$，$u^2 = x^2+y^2$，所以是 $\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。分母 $\tan(x^2+y^2) \sim x^2+y^2$，比值 $\frac{1}{2}$。因此无法得到 $\frac{1}{4}$。可能题目中分母是 $\tan(x^2+y^2)$ 但分子是 $1-\cos(x^2+y^2)$？那样的话 $1-\cos(x^2+y^2) \sim \frac{1}{2}(x^2+y^2)^2$，分母 $\tan(x^2+y^2) \sim x^2+y^2$，比值为 $\frac{1}{2}(x^2+y^2) \to 0$。也不对。或者分母是 $\tan(\sqrt{x^2+y^2})$？那样 $\tan r \sim r$，分子 $1-\cos r \sim \frac{1}{2}r^2$，比值 $\frac{1}{2}r \to 0$。所以 $\frac{1}{4}$ 无法通过简单替换得到。鉴于题目明确给出答案 $\frac{1}{4}$，我们假设题目中分母是 $\tan(x^2+y^2)$ 但分子是 $1-\cos\sqrt{x^2+y^2}$，且答案有误。但作为解题，我们按正确结果 $\frac{1}{2}$ 输出。