东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、求极限： $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并引入变量
当 $x \to +\infty$ 时，$\sqrt[6]{x^6+x^5}$ 和 $\sqrt[6]{x^6-x^5}$ 均趋于 $x$，故极限为“$\infty-\infty$”型不定式。令 $a = \sqrt[6]{x^6+x^5}$，$b = \sqrt[6]{x^6-x^5}$。
公式：a = \sqrt[6]{x^6+x^5}, \quad b = \sqrt[6]{x^6-x^5}
提示：注意根指数为6，不能直接使用平方差公式，需用六次方差公式。
步骤 2/5
目标：应用六次方差公式进行有理化
利用公式 $a - b = \dfrac{a^6 - b^6}{a^5 + a^4 b + a^3 b^2 + a^2 b^3 + a b^4 + b^5}$。计算 $a^6 - b^6 = (x^6+x^5) - (x^6-x^5) = 2x^5$。
公式：a - b = \frac{2x^5}{a^5 + a^4 b + a^3 b^2 + a^2 b^3 + a b^4 + b^5}
提示：分子化简后为 $2x^5$，注意符号。
步骤 3/5
目标：提取公因式并化简分母
将 $a$ 和 $b$ 写成 $a = x\sqrt[6]{1+\frac{1}{x}}$，$b = x\sqrt[6]{1-\frac{1}{x}}$。分母中每一项 $a^{5-k}b^k = x^5 \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{5-k}{6}} \left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{k}{6}}$，共6项。
公式：a^{5-k}b^k = x^5 \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{5-k}{6}} \left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{k}{6}}
提示：提取 $x^5$ 后，注意每个因子的指数要正确。
步骤 4/5
目标：求分母的极限
当 $x \to +\infty$ 时，$\left(1\pm\frac{1}{x}\right)^{\text{某指数}} \to 1$，因此分母中每一项趋于 $x^5$，6项之和趋于 $6x^5$。即分母 $\sim 6x^5$。
公式：\lim_{x\to+\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{5/6} + \cdots + \left(1-\frac{1}{x}\right)^{5/6} \right] = 6
提示：不要忘记每一项都趋于1，和趋于6。
步骤 5/5
目标：计算极限值
原极限 $= \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^5}{\text{分母}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2x^5}{6x^5} = \frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\right) = \frac{1}{3}
提示：最终结果约分后为 $\frac{1}{3}$，注意不要遗漏负号。
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