东北师范大学 2025年数学分析第0题

求和项为 $\frac{e^{i/n}}{n + 1/i}$。当 $n$ 很大时，分母中的 $1/i$ 相对于 $n$ 很小，但直接忽略需要小心。将分母提取 $n$： $$ \frac{e^{i/n}}{n + 1/i} = \frac{e^{i/n}}{n\left(1 + \frac{1}{ni}\right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{i/n}}{1 + \frac{1}{ni}}. $$ 于是原求和变为 $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{i/n}}{1 + \frac{1}{ni}}. $$

由于 $i \ge 1$，有 $0 < \frac{1}{ni} \le \frac{1}{n}$，因此 $$ 1 \le 1 + \frac{1}{ni} \le 1 + \frac{1}{n}. $$ 取倒数得 $$ \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \le \frac{1}{1 + \frac{1}{ni}} \le 1. $$ 于是原求和 $S_n$ 满足： $$ \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{i/n} \le S_n \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{i/n}. $$

考虑黎曼和 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{i/n}$，当 $n \to \infty$ 时，它收敛于积分 $\int_0^1 e^x \, dx$： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{i/n} = \int_0^1 e^x \, dx = e - 1. $$

由第二步的上下界，以及 $\frac{1}{1+1/n} \to 1$，结合第三步的极限，得： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+1/n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{i/n} = 1 \cdot (e-1) = e-1, $$ 且上界也趋于 $e-1$。由夹逼准则，原极限为 $e-1$。

更严格地，考虑 $\frac{1}{1+1/(ni)} = 1 - \frac{1}{ni} + O\left(\frac{1}{n^2 i^2}\right)$，则误差项为 $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{i/n}}{ni} \le \frac{e}{n^2} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \sim \frac{e \ln n}{n^2} \to 0, $$ 因此修正项不影响极限。