📝 东北师范大学 2025年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{e^{\frac{i}{n}}}{n+\frac{1}{i}}$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\sqrt{\cos (2 x)}}{(1-\cos \sqrt{x}) \ln (1+x)}$ ．

3、求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

4、设 $z=\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} e^{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}$ ．

三、（15 分）求 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距原点最近的点．

九、（17 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，试证明：对于 $\displaystyle [a, b]$ 中任意不同的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，有 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]>f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$ ．

二、（15 分）设 $k$ 是常数，方程 $\displaystyle k x-\frac{1}{x}+1=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内恰有一根，求 $k$ 的取值范围．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其它 }\end{array}, D\right.$ 为 xoy 面，求二重积分

$$
I=\iint_{D} f(y) f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

八、（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{n^{2}}=\frac{1}{2}\left(3 x^{2}-6 \pi x+2 \pi^{2}\right),(0 \leq x \leq \pi)$ ．

六、（15分）讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的敛散性．
t、（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\left(n^{2}-n+1\right)$ 的和．

四、（15分）设 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，求 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ．