东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）求 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距原点最近的点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确目标与约束
所求为曲线上的点到原点的距离最近的点。距离平方为 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$，因此目标函数设为 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$。约束条件为：$\varphi_1(x,y,z) = x + 2y - 1 = 0$ 和 $\varphi_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + z^2 - 1 = 0$。
公式：f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
提示：距离最小等价于距离平方最小，可简化计算。
步骤 2/6
目标：构造拉格朗日函数
引入两个拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，构造拉格朗日函数：
$$L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)$$
公式：L = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda (x + 2y - 1) + \mu (x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)
提示：注意有两个约束条件，需引入两个乘数。
步骤 3/6
目标：求偏导并令其为零
对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda + 2\mu x = 0$，即 $2x(1+\mu) + \lambda = 0$ (1)。
对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + 2\lambda + 4\mu y = 0$，即 $2y(1+2\mu) + 2\lambda = 0$ (2)。
对 $z$ 求偏导：$\frac{\partial L}{\partial z} = 2z + 2\mu z = 2z(1+\mu) = 0$ (3)。
公式：2x(1+\mu) + \lambda = 0; 2y(1+2\mu) + 2\lambda = 0; 2z(1+\mu) = 0
提示：偏导数为零是极值必要条件，注意每个变量分别求导。
步骤 4/6
目标：分析可能的解（情况A）
由(3)式，有两种情况。
情况A：$1+\mu = 0$，即 $\mu = -1$。代入(1)得 $\lambda = 0$；代入(2)得 $2y(1-2)=0$，即 $y=0$。由约束1得 $x=1$，由约束2得 $z=0$。得到点 $(1,0,0)$。
公式：\mu = -1, \lambda = 0, y=0, x=1, z=0
提示：注意代入后要同时满足两个约束方程。
步骤 5/6
目标：分析可能的解（情况B）
情况B：$z=0$。此时约束2变为 $x^2 + 2y^2 = 1$，约束1给出 $x = 1 - 2y$。代入得 $(1-2y)^2 + 2y^2 = 1$，展开得 $1 - 4y + 4y^2 + 2y^2 = 1$，即 $6y^2 - 4y = 0$，因式分解得 $2y(3y - 2) = 0$，解得 $y=0$ 或 $y = \frac{2}{3}$。$y=0$ 时 $x=1$，得点 $(1,0,0)$（与情况A相同）；$y=\frac{2}{3}$ 时 $x = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$，得点 $(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0)$。
公式：x = 1 - 2y; (1-2y)^2 + 2y^2 = 1; 2y(3y-2)=0
提示：注意 $y=0$ 的解与情况A重复，需保留所有候选点。
步骤 6/6
目标：比较距离并得出结论
计算各点到原点的距离平方：
点 $(1,0,0)$：$1^2+0+0=1$；
点 $(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0)$：$\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 0 = \frac{5}{9} < 1$。
因此最近的点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$。
公式：d^2 = x^2 + y^2 + z^2; \frac{5}{9} < 1
提示：比较距离平方即可，无需开方。
步骤 7/7
目标：总结并给出最终答案
经过分类讨论和比较，交线上距原点最近的点是 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)$。
公式：\boxed{\left(-\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ 0\right)}
提示：最终答案要写成坐标形式，并确认满足两个约束条件。
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