东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）设 $k$ 是常数，方程 $\displaystyle k x-\frac{1}{x}+1=0$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内恰有一根，求 $k$ 的取值范围．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程转化为二次函数形式
原方程为 $k x - \frac{1}{x} + 1 = 0$，定义域 $x > 0$。两边乘以 $x$ 得 $k x^2 + x - 1 = 0$。因此问题转化为二次方程 $k x^2 + x - 1 = 0$ 在 $(0, +\infty)$ 内恰有一个实根。
公式：k x^2 + x - 1 = 0
提示：注意 $x>0$ 的条件，乘 $x$ 时不等号方向不变。
步骤 2/6
目标：分类讨论：$k=0$ 的情形
当 $k=0$ 时，方程化为 $x - 1 = 0$，解得 $x=1$，在 $(0,+\infty)$ 内恰有一根，符合条件。
公式：x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
提示：不要遗漏 $k=0$ 的情况。
步骤 3/6
目标：分类讨论：$k>0$ 的情形
当 $k>0$ 时，二次项系数为正，抛物线开口向上。判别式 $\Delta = 1 + 4k > 0$，有两个不同实根。两根之积 $x_1 x_2 = -\frac{1}{k} < 0$，因此一根为正、一根为负，正半轴恰有一个根，所有 $k>0$ 均成立。
公式：\Delta = 1 + 4k > 0, \quad x_1 x_2 = -\frac{1}{k} < 0
提示：利用韦达定理判断根的正负。
步骤 4/6
目标：分类讨论：$k<0$ 的情形
当 $k<0$ 时，二次项系数为负，抛物线开口向下。首先要有实根，需 $\Delta = 1 + 4k \ge 0$，即 $k \ge -\frac{1}{4}$，故 $k \in [-\frac{1}{4}, 0)$。此时两根之积 $x_1 x_2 = -\frac{1}{k} > 0$，两根之和 $x_1 + x_2 = -\frac{1}{k} > 0$，因此两根均为正，正半轴上有两个根，除非是重根。
公式：\Delta = 1 + 4k \ge 0 \Rightarrow k \ge -\frac{1}{4}, \quad x_1 x_2 = -\frac{1}{k} > 0, \quad x_1 + x_2 = -\frac{1}{k} > 0
提示：注意判别式非负是存在实根的前提。
步骤 5/6
目标：处理 $k<0$ 时的重根情况
当 $\Delta = 0$ 即 $k = -\frac{1}{4}$ 时，方程有重根。代入得 $-\frac{1}{4}x^2 + x - 1 = 0$，两边乘 $-4$ 得 $x^2 - 4x + 4 = 0$，即 $(x-2)^2=0$，根为 $x=2$（正数），此时正半轴恰有一个根（二重根算一个），符合条件。
公式：k = -\frac{1}{4} \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2
提示：重根视为一个根，不要遗漏。
步骤 6/6
目标：综合结论
综合以上讨论，$k$ 的取值范围为 $k = -\frac{1}{4}$ 或 $k \ge 0$，用区间表示为 $\{-\frac{1}{4}\} \cup [0, +\infty)$。
公式：k = -\frac{1}{4} \quad \text{或} \quad k \ge 0
提示：最终答案需包含 $k=0$ 和 $k=-\frac{1}{4}$ 这两个特殊点。
步骤 7/7
目标：综合结论
综上，$k$ 的取值范围是 $k\ge 0$ 或 $k=-\frac{1}{4}$。
提示：注意 $k=-\frac{1}{4}$ 是单独的一个值，不要写成区间。
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