东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4、设 $z=\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} e^{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算积分，得到显式表达式
计算定积分 $z = \int_{0}^{x^{2}+y^{2}} e^{t} \, dt$。由于 $\int e^{t} \, dt = e^{t} + C$，代入上下限得 $z = e^{x^{2}+y^{2}} - e^{0} = e^{x^{2}+y^{2}} - 1$。
公式：z = e^{x^{2}+y^{2}} - 1
提示：注意积分上下限是 $x^2+y^2$ 和 $0$，不要混淆变量 $t$ 与 $x,y$。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 $z_x$ 和 $z_y$
对 $z = e^{x^{2}+y^{2}} - 1$ 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^{2}+y^{2}} \cdot 2x = 2x e^{x^{2}+y^{2}}$；$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}+y^{2}} \cdot 2y = 2y e^{x^{2}+y^{2}}$。
公式：z_x = 2x e^{x^{2}+y^{2}}, \quad z_y = 2y e^{x^{2}+y^{2}}
提示：使用链式法则，指数函数的导数为自身乘以内函数导数。
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数 $z_{xx}$
对 $z_x = 2x e^{x^{2}+y^{2}}$ 求 $x$ 的偏导：应用乘法法则，$\frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2$，$\frac{\partial}{\partial x}(e^{x^{2}+y^{2}}) = 2x e^{x^{2}+y^{2}}$，因此 $z_{xx} = 2 e^{x^{2}+y^{2}} + 2x \cdot 2x e^{x^{2}+y^{2}} = (2 + 4x^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}$。
公式：z_{xx} = (2 + 4x^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}
提示：注意乘法法则中两项都要正确求导，不要遗漏 $2x$ 的导数项。
步骤 4/5
目标：求二阶偏导数 $z_{yy}$
同理，对 $z_y = 2y e^{x^{2}+y^{2}}$ 求 $y$ 的偏导：$\frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2$，$\frac{\partial}{\partial y}(e^{x^{2}+y^{2}}) = 2y e^{x^{2}+y^{2}}$，所以 $z_{yy} = 2 e^{x^{2}+y^{2}} + 2y \cdot 2y e^{x^{2}+y^{2}} = (2 + 4y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}$。
公式：z_{yy} = (2 + 4y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}
提示：与 $z_{xx}$ 对称，注意变量对应。
步骤 5/5
目标：计算 $z_{xx} + z_{yy}$ 并化简
将两个二阶偏导相加：$z_{xx} + z_{yy} = (2 + 4x^{2}) e^{x^{2}+y^{2}} + (2 + 4y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}} = (4 + 4x^{2} + 4y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}} = 4(1 + x^{2} + y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}$。
公式：z_{xx} + z_{yy} = 4(1 + x^{2} + y^{2}) e^{x^{2}+y^{2}}
提示：合并同类项时注意系数，最终结果可提取公因子4。
步骤 6/6
目标：求和 $z_{xx} + z_{yy}$ 并化简
$z_{xx} + z_{yy} = (2 + 4x^2) e^{x^2 + y^2} + (2 + 4y^2) e^{x^2 + y^2} = (4 + 4x^2 + 4y^2) e^{x^2 + y^2} = 4(1 + x^2 + y^2) e^{x^2 + y^2}$。
公式：$z_{xx} + z_{yy} = 4(1 + x^2 + y^2) e^{x^2 + y^2}$
提示：合并同类项时注意系数相加，最后提取公因子4。
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