东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（15分）讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的敛散性．
t、（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\left(n^{2}-n+1\right)$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析积分在 x→0⁺ 处的行为
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin(x^3) \sim x^3$，因此被积函数 $f(x) = \frac{1+x}{x^p} \sin(x^3) \sim \frac{1+x}{x^p} \cdot x^3 = (1+x)x^{3-p}$。由于 $1+x \to 1$，故 $f(x) \sim x^{3-p}$。在 0 附近，$\int_0^\delta x^{3-p} dx$ 收敛当且仅当 $3-p > -1$，即 $p < 4$。
公式：$f(x) \sim x^{3-p}, \quad \int_0^\delta x^{\alpha} dx \text{ 收敛 } \iff \alpha > -1$
提示：注意 $\sin(x^3)$ 在零点用等价无穷小替换，不要遗漏 $1+x$ 的因子，但它在 $x=0$ 处趋于 1，不影响幂次判断。
步骤 2/7
目标：分析积分在 x→+∞ 处的行为（换元）
令 $t = x^3$，则 $x = t^{1/3}$，$dx = \frac{1}{3} t^{-2/3} dt$。积分化为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin(x^3) dx = \frac{1}{3} \int_0^{+\infty} \frac{1 + t^{1/3}}{t^{(p+2)/3}} \sin t \, dt$$
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin(x^3) dx = \frac{1}{3} \int_0^{+\infty} \frac{1 + t^{1/3}}{t^{(p+2)/3}} \sin t \, dt$
提示：换元后注意幂次计算要准确，$x^{-p} = t^{-p/3}$，$dx$ 贡献 $t^{-2/3}$，合并指数得 $t^{-(p+2)/3}$。
步骤 3/7
目标：分析换元后积分在无穷远处的收敛性
换元后的积分可拆为两项：
$$\frac{1}{3} \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{(p+2)/3}} dt + \frac{1}{3} \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{(p+1)/3}} dt$$
对于 $\int_a^\infty \frac{\sin t}{t^\alpha} dt$，当 $\alpha > 0$ 时由 Dirichlet 判别法知条件收敛，当 $\alpha > 1$ 时绝对收敛，当 $\alpha \le 0$ 时发散。因此要求两个指数均大于 0：
$$\frac{p+2}{3} > 0 \quad \text{且} \quad \frac{p+1}{3} > 0 \quad \Rightarrow \quad p > -1$$
公式：$\int_a^\infty \frac{\sin t}{t^\alpha} dt$ 收敛 $\iff \alpha > 0$（条件收敛）
提示：注意这里只要求条件收敛，不需要绝对收敛。指数为 0 时 $\sin t$ 积分发散，因为原函数 $-\cos t$ 无极限。
步骤 4/7
目标：综合 0 点和无穷远处的收敛条件
0 点附近收敛条件：$p < 4$；无穷远处收敛条件：$p > -1$。两者取交集得 $-1 < p < 4$。检查边界：
- $p = -1$：0 点处 $x^{4}$ 可积，但无穷远处第二项指数为 0，积分发散，故发散。
- $p = 4$：0 点处 $x^{-1}$ 发散，故发散。
因此积分收敛当且仅当 $-1 < p < 4$。
公式：收敛区间：$(-1, 4)$
提示：边界点必须单独验证，因为等价无穷小或主部分析可能失效。
步骤 5/7
目标：将级数拆分为三个基本级数
设 $r = -\frac{1}{2}$，则原级数可写为：
$$S = \sum_{n=0}^\infty r^n (n^2 - n + 1) = \sum_{n=0}^\infty n^2 r^n - \sum_{n=0}^\infty n r^n + \sum_{n=0}^\infty r^n$$
由于 $|r| = \frac{1}{2} < 1$，三个级数均收敛。
公式：$S = \sum n^2 r^n - \sum n r^n + \sum r^n$
提示：注意 $n=0$ 时 $n^2$ 和 $n$ 项均为 0，不影响求和起点。
步骤 6/7
目标：利用幂级数求和公式计算各分量
已知 $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$，求导得：
$$\sum_{n=0}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad \sum_{n=0}^\infty n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}$$
代入 $r = -\frac{1}{2}$：
- $\sum r^n = \frac{1}{1+1/2} = \frac{2}{3}$
- $\sum n r^n = \frac{-1/2}{(1+1/2)^2} = -\frac{2}{9}$
- $\sum n^2 r^n = \frac{(-1/2)(1-1/2)}{(1+1/2)^3} = -\frac{2}{27}$
公式：$\sum_{n=0}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad \sum_{n=0}^\infty n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}$
提示：求导公式注意分母的幂次，代入负数时要小心符号。
步骤 7/7
目标：组合结果得到级数和
将各分量代入：
$$S = \left(-\frac{2}{27}\right) - \left(-\frac{2}{9}\right) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{27} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3}$$
通分分母 27：
$$-\frac{2}{27} + \frac{6}{27} + \frac{18}{27} = \frac{22}{27}$$
公式：$S = \frac{22}{27}$
提示：注意第二项是减去 $\sum n r^n$，而 $\sum n r^n = -2/9$，所以减去负值等于加正值。
步骤 8/8
目标：合并结果得到级数和
两部分相加：$S = \frac{4}{27} + \frac{2}{3}$。通分：$\frac{2}{3} = \frac{18}{27}$，故 $S = \frac{4+18}{27} = \frac{22}{27}$。
公式：$S = \frac{22}{27}$
提示：注意分数通分时不要出错，最终结果需化为最简分数。
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