东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：进行变量代换，简化积分形式
令 $x = \tan t$，则当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$。且 $1 + x^2 = 1 + \tan^2 t = \sec^2 t$，$\mathrm{d}x = \sec^2 t \, \mathrm{d}t$。原积分化为：
$$
\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{\sec^2 t} \cdot \sec^2 t \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, \mathrm{d}t
$$
公式：$x = \tan t$，$\mathrm{d}x = \sec^2 t \, \mathrm{d}t$，$1+x^2 = \sec^2 t$
提示：注意代换后积分限的变化，以及分母与微分形式的抵消简化。
步骤 2/5
目标：利用对称变换，构造积分方程
令 $t = \frac{\pi}{4} - u$，则当 $t=0$ 时 $u=\frac{\pi}{4}$，当 $t=\frac{\pi}{4}$ 时 $u=0$，且 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$。于是：
$$
I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, \mathrm{d}t = \int_{\pi/4}^{0} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right) \mathrm{d}u
$$
公式：$t = \frac{\pi}{4} - u$，$\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$
提示：注意换元时积分限的翻转，以及负号的处理。
步骤 3/5
目标：化简被积函数中的对数表达式
利用正切差角公式：
$$
\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right) = \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}
$$
则：
$$
1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right) = 1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} = \frac{1+\tan u + 1 - \tan u}{1+\tan u} = \frac{2}{1+\tan u}
$$
取对数得：
$$
\ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan u)
$$
公式：$\tan(\frac{\pi}{4}-u) = \frac{1-\tan u}{1+\tan u}$，$\ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan u)$
提示：化简时注意通分和代数恒等式的正确使用。
步骤 4/5
目标：建立关于 I 的方程并求解
将化简结果代入积分表达式：
$$
I = \int_{0}^{\pi/4} \left[ \ln 2 - \ln(1+\tan u) \right] \mathrm{d}u = \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan u) \, \mathrm{d}u
$$
注意到右边第二项正是 $I$（积分变量名称无关），因此：
$$
I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I
$$
移项得：
$$
2I = \frac{\pi}{4} \ln 2 \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\pi}{8} \ln 2
$$
公式：$I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I$，$I = \frac{\pi}{8} \ln 2$
提示：注意积分变量名称改变不影响积分值，这是建立方程的关键。
步骤 5/5
目标：得出原积分结果
由于第一步的代换没有改变积分值，因此原积分等于 $I$，即：
$$
\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{8} \ln 2
$$
公式：$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{\pi}{8} \ln 2$
提示：最终结果需用方框或花括号强调，注意书写规范。
步骤 6/6
目标：合并后两个积分
由步骤5可知，第二个积分与第三个积分相等，因此相减得零。故
$$I = \frac{\pi}{8} \ln 2.$$
提示：注意积分变量是哑变量，可以互换名称。
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