东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（15分）设 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，求 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分区域和被积函数
曲面 $S$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，需要计算曲面积分 $\iint_S (x^2 + 4y^2 + 9z^2) \, dS$。
公式：$S: x^2 + y^2 + z^2 = a^2$
提示：注意球面半径为 $a$，面积为 $4\pi a^2$。
步骤 2/6
目标：利用对称性建立平方项积分相等关系
由于球面具有旋转对称性，坐标平方项在球面上的积分相等：$\iint_S x^2 \, dS = \iint_S y^2 \, dS = \iint_S z^2 \, dS$。设此公共值为 $I$。
公式：$\iint_S x^2 \, dS = \iint_S y^2 \, dS = \iint_S z^2 \, dS = I$
提示：对称性成立是因为球面在任意正交变换下不变，而 $x^2, y^2, z^2$ 可通过旋转互换。
步骤 3/6
目标：计算三个平方项之和的积分
在球面上，$x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，因此 $\iint_S (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = \iint_S a^2 \, dS = a^2 \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^4$。
公式：$\iint_S (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = 4\pi a^4$
提示：球面面积 $4\pi a^2$ 是常用结果，不要忘记乘以 $a^2$。
步骤 4/6
目标：求出每个平方项的积分值
由 $3I = 4\pi a^4$，解得 $I = \frac{4\pi a^4}{3}$。即 $\iint_S x^2 \, dS = \iint_S y^2 \, dS = \iint_S z^2 \, dS = \frac{4\pi a^4}{3}$。
公式：$I = \frac{4\pi a^4}{3}$
提示：注意系数 $3$ 来自三个平方项之和。
步骤 5/6
目标：代入原积分表达式
原积分 $\iint_S (x^2 + 4y^2 + 9z^2) \, dS = \iint_S x^2 \, dS + 4\iint_S y^2 \, dS + 9\iint_S z^2 \, dS$。代入 $I$ 得：$= \frac{4\pi a^4}{3} + 4 \cdot \frac{4\pi a^4}{3} + 9 \cdot \frac{4\pi a^4}{3}$。
公式：$\iint_S (x^2 + 4y^2 + 9z^2) \, dS = (1+4+9) \cdot \frac{4\pi a^4}{3}$
提示：注意系数不要遗漏，$y^2$ 前系数为 $4$，$z^2$ 前系数为 $9$。
步骤 6/6
目标：合并系数并得出最终结果
合并系数 $1+4+9=14$，因此原积分 $= 14 \cdot \frac{4\pi a^4}{3} = \frac{56\pi a^4}{3}$。
公式：$\boxed{\frac{56\pi a^4}{3}}$
提示：最终结果应化简为最简分数形式。
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