东北师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九、（17 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，试证明：对于 $\displaystyle [a, b]$ 中任意不同的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，有 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]>f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上具有二阶导数，且 $f''(x) > 0$。对于任意不同的 $x_1, x_2 \in [a,b]$，需要证明不等式：
\[
\frac{1}{2}[f(x_1) + f(x_2)] > f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right).
\]
公式：目标不等式：$\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)] > f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$
提示：注意 $x_1 \neq x_2$，否则不等式退化为等式。
步骤 2/5
目标：利用凸函数性质直接证明
由 $f''(x) > 0$ 可知 $f'(x)$ 严格递增，因此 $f(x)$ 是严格凸函数。严格凸函数满足 Jensen 不等式：对任意 $t \in (0,1)$，有
\[
f(tx_1 + (1-t)x_2) < t f(x_1) + (1-t) f(x_2).
\]
取 $t = \frac{1}{2}$，即得
\[
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{1}{2} f(x_1) + \frac{1}{2} f(x_2),
\]
这正是要证明的结论。
公式：$f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$，$t \in (0,1)$
提示：凸函数的定义与二阶导数大于0等价，但需注意严格凸性才能得到严格不等式。
步骤 3/5
目标：用泰勒展开进行严格推导（方法二）
设中点 $m = \frac{x_1+x_2}{2}$，并令 $h = \frac{x_2 - x_1}{2} > 0$，则 $x_1 = m - h$，$x_2 = m + h$。分别在 $x=m$ 处对 $f(m-h)$ 和 $f(m+h)$ 作带拉格朗日余项的泰勒展开：
\[
f(m-h) = f(m) - f'(m)h + \frac{f''(\xi_1)}{2} h^2, \quad \xi_1 \in (m-h, m),
\]
\[
f(m+h) = f(m) + f'(m)h + \frac{f''(\xi_2)}{2} h^2, \quad \xi_2 \in (m, m+h).
\]
公式：$f(m \pm h) = f(m) \pm f'(m)h + \frac{f''(\xi)}{2} h^2$
提示：注意余项中的 $\xi$ 依赖于 $h$，且 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 不同。
步骤 4/5
目标：将两式相加并利用二阶导数正性
将上面两式相加，得到：
\[
f(m-h) + f(m+h) = 2f(m) + \frac{h^2}{2}[f''(\xi_1) + f''(\xi_2)].
\]
由于 $f''(x) > 0$ 对所有 $x \in [a,b]$ 成立，故 $f''(\xi_1) > 0$，$f''(\xi_2) > 0$，因此
\[
f(m-h) + f(m+h) > 2f(m).
\]
公式：$f(m-h)+f(m+h) = 2f(m) + \frac{h^2}{2}[f''(\xi_1)+f''(\xi_2)]$
提示：严格不等式成立是因为 $h>0$ 且 $f''(\xi_i)>0$，不能取等。
步骤 5/5
目标：整理得到最终不等式
将不等式两边同时除以2，并代回 $x_1 = m-h$，$x_2 = m+h$，即得：
\[
\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} > f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right).
\]
这正是题目要求证明的结论。
公式：$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$
提示：注意 $x_1$ 和 $x_2$ 是任意不同的点，因此 $h>0$ 保证严格性。
步骤 6/6
目标：总结证明过程
综上，由 $f''(x)>0$ 推出 $f'(x)$ 严格递增，利用拉格朗日中值定理和导数单调性，即可证明凸函数的这一经典不等式。
公式：无
提示：本题也可用泰勒公式或凸函数定义证明，但拉格朗日中值定理方法最为直接。
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