东北师范大学 2025年数学分析第0题

分子为 $1 - \sqrt{\cos(2x)}$。当 $x \to 0$ 时，$\cos(2x) \approx 1 - \frac{(2x)^2}{2} = 1 - 2x^2$。对 $\sqrt{\cos(2x)}$ 使用 $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$（$u \to 0$），得 $\sqrt{\cos(2x)} \approx \sqrt{1 - 2x^2} \approx 1 - x^2$。因此 $1 - \sqrt{\cos(2x)} \approx x^2$。更精确的泰勒展开：$\cos(2x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + o(x^4)$，开平方得 $\sqrt{\cos(2x)} = 1 - x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4)$，所以分子 $= x^2 + \frac{x^4}{6} + o(x^4)$，主要项为 $x^2$。

当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \to 0$。利用 $\cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + \cdots$，令 $t = \sqrt{x}$，得 $1 - \cos\sqrt{x} \approx \frac{(\sqrt{x})^2}{2} - \frac{(\sqrt{x})^4}{24} = \frac{x}{2} - \frac{x^2}{24} + o(x^2)$，主要项为 $\frac{x}{2}$。

当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，主要项为 $x$。

分母为 $(1 - \cos\sqrt{x}) \ln(1+x)$，其等价无穷小为 $\frac{x}{2} \cdot x = \frac{x^2}{2}$。分子等价无穷小为 $x^2$。因此极限为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x^2/2} = 2$。更严谨地，可写为 $\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2 + O(x^4)}{\frac{x}{2}(1+O(x)) \cdot x(1+O(x))} = 2$。

原极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos(2x)}}{(1 - \cos\sqrt{x}) \ln(1+x)}$ 等价于 $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。

原极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \sqrt{\cos(2x)}}{(1 - \cos\sqrt{x})\ln(1+x)} \sim \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x^2/2} = 2$。

更精确展开：分子 $1 - \sqrt{\cos(2x)} = x^2 + \frac{1}{6}x^4 + o(x^4)$，分母 $(1 - \cos\sqrt{x})\ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{7x^3}{24} + o(x^3)$，比值 $\frac{1 + \frac{1}{6}x^2 + \cdots}{\frac{1}{2} - \frac{7x}{24} + \cdots}$，极限仍为 $2$。