东北师范大学 2025年数学分析第0题

已知函数 $f(t) = \begin{cases} t, & 0 \le t \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$。被积函数为 $f(y) f(x+y)$，其非零的条件是：$0 \le y \le 1$ 且 $0 \le x+y \le 1$。积分区域 $D$ 为整个 $xoy$ 平面，因此实际积分区域由这两个不等式确定。

由 $0 \le y \le 1$ 和 $0 \le x+y \le 1$，第二个不等式可化为 $-y \le x \le 1-y$。因为 $y \ge 0$，下界 $-y \le 0$，上界 $1-y \ge 0$ 当 $y \le 1$。因此积分区域为：$0 \le y \le 1,\; -y \le x \le 1-y$。在此区域内，被积函数简化为 $y \cdot (x+y)$。

将二重积分写为累次积分形式：$I = \int_{y=0}^{1} \int_{x=-y}^{1-y} y(x+y) \, dx \, dy$。先对 $x$ 积分，将 $y$ 视为常数。

内层积分：$\int_{-y}^{1-y} y(x+y) \, dx = y \int_{-y}^{1-y} (x+y) \, dx$。计算不定积分 $\int (x+y) \, dx = \frac{x^2}{2} + yx$。代入上下限：上限 $x=1-y$ 得 $\frac{(1-y)^2}{2} + y(1-y)$，下限 $x=-y$ 得 $\frac{y^2}{2} - y^2 = -\frac{y^2}{2}$。相减得：$\frac{(1-y)^2}{2} + y(1-y) + \frac{y^2}{2}$。展开 $(1-y)^2 = 1 - 2y + y^2$，合并同类项：常数项 $\frac12$，$y$ 项 $-y + y = 0$，$y^2$ 项 $\frac{y^2}{2} - y^2 + \frac{y^2}{2} = 0$，结果为 $\frac12$。再乘以 $y$ 得 $\frac{y}{2}$。

外层积分为 $I = \int_0^1 \frac{y}{2} \, dy = \frac12 \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^1 = \frac12 \cdot \frac12 = \frac14$。

$$I = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{1}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} y \, dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$

故所求二重积分的值为 $\boxed{\dfrac{1}{4}}$。