东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sin \left(\frac{i}{n^{2}}\right) \ln \left(1+\frac{i}{n}\right)$ ．
2 ．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：对第一题中的正弦函数进行等价无穷小替换
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{i}{n^2}$ 很小，因此 $\sin\left(\frac{i}{n^2}\right) \sim \frac{i}{n^2}$。原和式近似为 $\sum_{i=1}^n \frac{i}{n^2} \ln\left(1+\frac{i}{n}\right)$。
公式：\sin\left(\frac{i}{n^2}\right) \sim \frac{i}{n^2}
提示：注意等价无穷小替换的条件是变量趋于0，这里 $\frac{i}{n^2} \to 0$ 成立。
步骤 2/7
目标：将第一题的和式转化为黎曼和形式
将 $\frac{i}{n^2}$ 写为 $\frac{1}{n} \cdot \frac{i}{n}$，则和式变为 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \ln\left(1+\frac{i}{n}\right)$。当 $n \to \infty$ 时，这对应于积分 $\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：注意步长 $\Delta x = 1/n$，积分变量 $x = i/n$。
步骤 3/7
目标：计算第一题中的定积分
使用分部积分法：令 $u = \ln(1+x)$，$dv = x \, dx$，则 $du = \frac{1}{1+x} \, dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。于是 $\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} \, dx$。计算得第一项为 $\frac{1}{2} \ln 2$。
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时注意选择 $u$ 和 $dv$ 的顺序，通常将对数函数设为 $u$。
步骤 4/7
目标：完成第一题中积分的剩余部分计算
计算第二项：$\int_0^1 \frac{x^2}{2(1+x)} \, dx = \frac12 \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} \, dx$。通过多项式除法 $\frac{x^2}{1+x} = x - 1 + \frac{1}{1+x}$，积分得 $\frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(1+x) \right]_0^1 = \frac12 \left( -\frac12 + \ln 2 \right) = -\frac14 + \frac12 \ln 2$。原积分结果为 $\frac12 \ln 2 - \left( -\frac14 + \frac12 \ln 2 \right) = \frac14$。
公式：\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx = \frac14
提示：多项式除法后逐项积分，注意代入上下限时不要遗漏常数项。
步骤 5/7
目标：对第二题进行通分化简
原式 $\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x} - \cot x\right) = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x} = \frac{\sin x - x \cos x}{x^2 \sin x}$。
公式：\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
提示：通分时注意分母的化简，避免计算错误。
步骤 6/7
目标：对第二题分子分母进行泰勒展开
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，分母 $x^2 \sin x \sim x^3$。分子展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，则 $x \cos x = x - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$。相减得 $\sin x - x \cos x = \left( -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} \right) x^3 + o(x^3) = \frac{1}{3} x^3 + o(x^3)$。
公式：\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
提示：展开到足够阶数（此处为三阶），确保分子分母主项匹配。
步骤 7/7
目标：计算第二题的极限值
将展开结果代入：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^3 + o(x^3)}{x^2 \cdot x + o(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} x^3}{x^3} = \frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x \cos x}{x^2 \sin x} = \frac{1}{3}
提示：等价无穷小替换时注意分母 $\sin x$ 用 $x$ 替换后，分子分母同阶，可直接计算系数比。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。