📝 东华大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sin \left(\frac{i}{n^{2}}\right) \ln \left(1+\frac{i}{n}\right)$ ．
2 ．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．

3．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

5．求积分 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 为椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6$ 的内侧．

1．讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中参数 $\displaystyle p>\frac{1}{2}$ ．

2．讨论函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{n x+1}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ 的一致收敛性及极限函数的连续性和可微性．

3．讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)\right|^{p}$ 的玫散性，其中 $p>0$ ．

三．（20分）叙述实数完备性的有限覆盖定理，并用之证明一元函数的介值性定理．

二．（ 15 分）设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{\ln n}=2$ ．

六．（15 分）取 $\displaystyle u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, v=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$ 为新的自变量，变换方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ，其中所涉及的各阶导数均存在且连续．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意不同实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．