东华大学 2026年数学分析第0题

积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \, dx$ 是反常积分，因为当 $x \to 0^+$ 时 $\ln x \to -\infty$，当 $x \to 1^-$ 时分母 $1-x \to 0$。需要验证收敛性：在 $x=0$ 附近，$\ln x$ 被幂函数压制，积分收敛；在 $x=1$ 附近，利用洛必达法则 $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = -1$，因此被积函数在 $x=1$ 处可去，积分收敛。

对于 $|x| < 1$，几何级数展开为 $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$。于是被积函数可写为 $\frac{\ln x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \ln x$。积分与求和可交换次序（由一致收敛性或单调收敛定理保证），得到 $\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1 x^n \ln x \, dx$。

令 $t = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$dx = -e^{-t} dt$，积分限 $x:0 \to 1$ 对应 $t: \infty \to 0$。于是 $\int_0^1 x^n \ln x \, dx = \int_\infty^0 e^{-nt} \cdot (-t) \cdot (-e^{-t}) dt = \int_0^\infty t e^{-(n+1)t} dt$。利用伽马函数 $\int_0^\infty t^{k} e^{-at} dt = \frac{k!}{a^{k+1}}$，取 $k=1$，$a=n+1$，得 $\int_0^\infty t e^{-(n+1)t} dt = \frac{1}{(n+1)^2}$。注意原积分中 $\ln x$ 为负，故结果为 $-\frac{1}{(n+1)^2}$。

将每个积分结果代入级数：$\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{(n+1)^2} \right) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$，其中 $k = n+1$。

著名的巴塞尔问题给出 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$。因此原积分值为 $-\frac{\pi^2}{6}$。

在 $x=0$ 附近，$\ln x$ 发散但被 $x^n$ 压制，积分收敛；在 $x=1$ 附近，$\ln x \sim x-1$，被积函数 $\sim \frac{x-1}{1-x} = -1$，可积。故结果合理。 最终答案： $$\boxed{-\frac{\pi^2}{6}}$$