东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{n x+1}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ 的一致收敛性及极限函数的连续性和可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求极限函数
对于固定的 $x > 0$，当 $n \to \infty$ 时，$f_n(x) = \frac{nx}{nx+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{nx}} \to 1$。对于 $x = 0$，对所有 $n$ 有 $f_n(0) = 0$，所以极限也是 $0$。因此极限函数为：
$$f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}$$
公式：f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0, \\ 1, & x > 0 \end{cases}
提示：注意 $x=0$ 和 $x>0$ 的极限不同，需要分开讨论。
步骤 2/4
目标：讨论一致收敛性
计算差：$|f_n(x) - f(x)| = \begin{cases} \frac{1}{nx+1}, & x>0, \\ 0, & x=0. \end{cases}$。考虑上确界：取 $x = \frac{1}{n}$，则 $\frac{1}{n \cdot \frac{1}{n} + 1} = \frac{1}{2}$，因此 $\sup_{x \in [0,\infty)} |f_n(x)-f(x)| \ge \frac{1}{2}$，不趋于 $0$，所以在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛。但在任意 $[a,+\infty)$（$a>0$）上，$\frac{1}{nx+1} \le \frac{1}{na+1} \to 0$，故一致收敛。
公式：\sup_{x \in [0,\infty)} |f_n(x)-f(x)| \ge \frac{1}{2}
提示：判断不一致收敛时，常取特殊点（如 $x=1/n$）使差值不趋于0。
步骤 3/4
目标：讨论极限函数的连续性
极限函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处：右极限 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，而函数值 $f(0)=0$，故不连续。在 $x>0$ 时，$f(x)=1$ 为常数函数，连续。因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上不是连续函数（仅在 $x=0$ 处间断）。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \neq f(0) = 0
提示：函数列极限函数的连续性需要逐点检查，尤其注意分段点。
步骤 4/4
目标：讨论极限函数的可微性
在 $x>0$ 时，$f(x)=1$，可导且导数为 $0$。在 $x=0$ 处，由于函数不连续，必然不可导。因此极限函数在定义域内不是处处可微的（仅在 $x>0$ 可微）。
公式：f'(x) = 0, \quad x > 0
提示：可微的必要条件是连续，不连续点一定不可微。
步骤 5/5
目标：结论总结
函数列 $f_n(x)=\frac{nx}{nx+1}$ 在 $[0,+\infty)$ 上逐点收敛到 $f(x)=\begin{cases}0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}$，但不一致收敛；极限函数在 $x=0$ 处不连续，因而也不可微；在 $x>0$ 上连续且可微。
公式：无
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛：逐点收敛只要求每个点收敛，一致收敛要求整体误差可控。
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