东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)\right|^{p}$ 的玫散性，其中 $p>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项中的表达式
考虑 $\sqrt{n^2+1}$，当 $n$ 很大时，做泰勒展开：
$$\sqrt{n^2+1} = n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n\left(1 + \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{8n^4} + \cdots\right) = n + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^3} + \cdots$$
因此，
$$\pi \sqrt{n^2+1} = \pi n + \frac{\pi}{2n} - \frac{\pi}{8n^3} + \cdots$$
公式：$\sqrt{n^2+1} = n + \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$
提示：注意泰勒展开时保留到 $\frac{1}{n}$ 项即可，更高阶项不影响渐近行为。
步骤 2/5
目标：利用正弦的周期性化简
由于 $\sin(\pi n + x) = (-1)^n \sin x$，代入得：
$$\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right) = \sin\left(\pi n + \frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = (-1)^n \sin\left(\frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)$$
取绝对值后符号消失：
$$\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right| = \left|\sin\left(\frac{\pi}{2n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\right|$$
公式：$\sin(\pi n + x) = (-1)^n \sin x$
提示：绝对值运算消除了 $(-1)^n$ 的影响，只需关注正弦函数内部的小量。
步骤 3/5
目标：小量近似得到渐近等价形式
当 $n$ 很大时，$\frac{\pi}{2n}$ 很小，利用 $\sin x \sim x$（当 $x \to 0$），有：
$$\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right| \sim \frac{\pi}{2n}$$
更精确地，存在常数 $C>0$ 使得当 $n$ 充分大时：
$$\frac{C}{n} \le \left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right| \le \frac{\pi}{n}$$
公式：$\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right| \sim \frac{\pi}{2n}$
提示：注意 $\sin x \sim x$ 的误差是 $O(x^3)$，不影响 $\frac{1}{n}$ 的主项。
步骤 4/5
目标：确定通项 $p$ 次方的渐近行为
对通项取 $p$ 次方：
$$\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right|^p \sim \left(\frac{\pi}{2}\right)^p \frac{1}{n^p}$$
因此级数的敛散性与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 相同。
公式：$\left|\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)\right|^p \sim \left(\frac{\pi}{2}\right)^p \frac{1}{n^p}$
提示：比较判别法要求通项非负且渐近等价，这里满足条件。
步骤 5/5
目标：应用 $p$ 级数敛散性结论
已知 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的敛散性为：
- 当 $p>1$ 时收敛；
- 当 $p \le 1$ 时发散（$p=1$ 为调和级数，发散）。
因此原级数在 $p>1$ 时收敛，在 $0
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$
提示：注意 $p>0$ 是题目条件，$p=1$ 是临界情况，发散。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上分析，原级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|\sin\left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)\right|^{p}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $0
公式：\text{收敛：} p>1; \quad \text{发散：} 0
提示：注意 $p>0$ 的条件，$p=1$ 时发散。
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