东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中参数 $\displaystyle p>\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区间与奇点
反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的积分区间为 $[0, +\infty)$，有两个可能的奇点：$x=0$ 处分母 $x^p$ 可能导致发散，$x \to +\infty$ 处由于 $\sin \sqrt{x}$ 振荡需讨论条件收敛。因此将积分拆分为 $\int_0^1 + \int_1^{+\infty}$ 分别讨论。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x = \int_0^1 \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x + \int_1^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x
提示：注意 $x=0$ 处被积函数可能无界，$x \to +\infty$ 处是振荡型反常积分。
步骤 2/5
目标：讨论 $x \to 0^+$ 处的敛散性
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin \sqrt{x} \sim \sqrt{x}$，故被积函数 $\frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \sim \frac{\sqrt{x}}{x^{p}} = x^{\frac{1}{2} - p}$。积分 $\int_0^1 x^{\frac{1}{2} - p} \mathrm{~d} x$ 收敛当且仅当 $\frac{1}{2} - p > -1$，即 $p < \frac{3}{2}$。结合题目条件 $p > \frac{1}{2}$，得：当 $\frac{1}{2} < p < \frac{3}{2}$ 时 $\int_0^1$ 收敛；当 $p \ge \frac{3}{2}$ 时发散。
公式：\frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \sim x^{\frac{1}{2} - p}, \quad \int_0^1 x^{\frac{1}{2} - p} \mathrm{~d} x \text{ 收敛 } \Leftrightarrow \frac{1}{2} - p > -1 \Leftrightarrow p < \frac{3}{2}
提示：比较判别法：幂次 $\alpha > -1$ 时 $\int_0^1 x^\alpha \mathrm{~d} x$ 收敛，注意 $\alpha = \frac{1}{2} - p$。
步骤 3/5
目标：处理无穷远处积分：变量代换
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t \mathrm{~d}t$，当 $x$ 从 $1$ 到 $+\infty$ 时 $t$ 从 $1$ 到 $+\infty$。代入得：
\[
\int_1^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x = \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{(t^2)^p} \cdot 2t \mathrm{~d} t = 2 \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{2p-1}} \mathrm{~d} t
\]
其中 $2p-1 > 0$ 因为 $p > \frac{1}{2}$。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x = 2 \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{2p-1}} \mathrm{~d} t
提示：代换后注意积分限的变化，$\mathrm{d}x = 2t \mathrm{~d}t$ 不要遗漏因子 $2$。
步骤 4/5
目标：讨论无穷远处积分的条件收敛与绝对收敛
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{\alpha}} \mathrm{~d} t$，其中 $\alpha = 2p-1$。
- 条件收敛：由 Dirichlet 判别法，当 $\alpha > 0$ 时 $\frac{1}{t^{\alpha}}$ 单调递减趋于 $0$，$\int_1^A \sin t \mathrm{~d} t$ 有界，故积分条件收敛。此处 $\alpha > 0$ 即 $p > \frac{1}{2}$，已满足。
- 绝对收敛：$\int_1^{+\infty} \left| \frac{\sin t}{t^{\alpha}} \right| \mathrm{~d} t \le \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{\alpha}} \mathrm{~d} t$ 收敛当且仅当 $\alpha > 1$，即 $2p-1 > 1 \Rightarrow p > 1$。
公式：\alpha = 2p-1, \quad \text{条件收敛：} \alpha > 0 \ (p > \frac{1}{2}); \quad \text{绝对收敛：} \alpha > 1 \ (p > 1)
提示：Dirichlet 判别法适用于 $\int_a^\infty f(x)g(x) \mathrm{d}x$，其中 $f$ 单调趋于 $0$，$g$ 的原函数有界。
步骤 5/5
目标：综合两部分，给出整体敛散性结论
整体积分收敛要求 $\int_0^1$ 和 $\int_1^{+\infty}$ 均收敛。
- $\int_0^1$ 收敛条件：$\frac{1}{2} < p < \frac{3}{2}$。
- $\int_1^{+\infty}$ 条件收敛条件：$p > \frac{1}{2}$（自动满足 $p > \frac{1}{2}$ 时成立）。
因此整体收敛当且仅当 $\frac{1}{2} < p < \frac{3}{2}$。
进一步细分：
- 当 $\frac{1}{2} < p \le 1$ 时，$\int_1^{+\infty}$ 条件收敛，整体条件收敛；
- 当 $1 < p < \frac{3}{2}$ 时，$\int_1^{+\infty}$ 绝对收敛，整体绝对收敛；
- 当 $p \ge \frac{3}{2}$ 时，$\int_0^1$ 发散，整体发散。
公式：\text{收敛范围：} \frac{1}{2} < p < \frac{3}{2}; \quad \text{条件收敛：} \frac{1}{2} < p \le 1; \quad \text{绝对收敛：} 1 < p < \frac{3}{2}
提示：注意 $p=1$ 时无穷远处条件收敛但非绝对收敛，$p$ 接近 $\frac{3}{2}$ 时 $x=0$ 处接近发散边界。
步骤 6/6
目标：给出最终结论
综上所述：当 $\frac12 < p < \frac32$ 时，反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^p} \, dx$ 收敛，其中当 $1 < p < \frac32$ 时绝对收敛，当 $\frac12 < p \le 1$ 时条件收敛；当 $p \ge \frac32$ 时，反常积分发散。
公式：\boxed{\begin{cases} \text{收敛（绝对收敛）} & 1 < p < \frac32 \\ \text{收敛（条件收敛）} & \frac12 < p \le 1 \\ \text{发散} & p \ge \frac32 \end{cases}}
提示：注意 $p$ 的边界值 $p=1$ 和 $p=3/2$ 需要单独判断，$p=1$ 时无穷远处条件收敛，$p=3/2$ 时 $x=0$ 处发散。
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