东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（ 15 分）设实数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{\ln n}=2$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对递推式两边平方，得到相邻项平方差
由递推关系 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n a_n}$，两边平方得：
$$a_{n+1}^2 = \left(a_n + \frac{1}{n a_n}\right)^2 = a_n^2 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2 a_n^2}.$$
因此，平方差为：
$$a_{n+1}^2 - a_n^2 = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2 a_n^2}.$$
公式：a_{n+1}^2 - a_n^2 = \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2 a_n^2}
提示：注意平方展开时不要遗漏交叉项 $2 \cdot a_n \cdot \frac{1}{n a_n} = \frac{2}{n}$。
步骤 2/4
目标：对平方差求和，得到 $a_N^2$ 的表达式
对 $n=1$ 到 $N-1$ 求和：
$$\sum_{n=1}^{N-1} (a_{n+1}^2 - a_n^2) = a_N^2 - a_1^2 = \sum_{n=1}^{N-1} \frac{2}{n} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n^2 a_n^2}.$$
于是：
$$a_N^2 = a_1^2 + 2\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n^2 a_n^2}.$$
公式：a_N^2 = a_1^2 + 2\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n^2 a_n^2}
提示：裂项求和时注意下标从1到N-1，不要写成从1到N。
步骤 3/4
目标：估计 $a_n$ 的下界，证明余项级数收敛
由于 $a_{n+1} > a_n$，且 $a_{n+1}^2 - a_n^2 > \frac{2}{n}$，求和得：
$$a_N^2 > a_1^2 + 2\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k} \sim 2\ln N.$$
故当 $n$ 充分大时，$a_n^2 > \ln n$，从而 $\frac{1}{n^2 a_n^2} < \frac{1}{n^2 \ln n}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \ln n}$ 收敛，所以 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 a_n^2}$ 收敛，记其和为常数 $C$。
公式：a_N^2 > 2\ln N,\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 a_n^2} < \infty
提示：下界估计只需粗糙的 $a_n^2 > \ln n$ 即可，不需要精确系数。
步骤 4/4
目标：代入调和级数渐近公式，求极限
调和级数 $\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} = \ln N + \gamma + o(1)$，其中 $\gamma$ 为欧拉常数。代入 $a_N^2$ 表达式：
$$a_N^2 = a_1^2 + 2(\ln N + \gamma + o(1)) + (C + o(1)).$$
因此：
$$\frac{a_N^2}{\ln N} = \frac{a_1^2 + 2\gamma + C}{\ln N} + 2 + \frac{o(1)}{\ln N}.$$
当 $N \to \infty$ 时，第一项和第三项均趋于0，故极限为2。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{\ln n} = 2
提示：注意 $o(1)$ 表示趋于0的量，除以 $\ln N$ 后仍趋于0。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
由 $a_n^2 = 2\ln n + O(1)$，两边除以 $\ln n$ 得
$$\frac{a_n^2}{\ln n} = 2 + \frac{O(1)}{\ln n}$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{O(1)}{\ln n} \to 0$，因此
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{\ln n} = 2$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{\ln n}=2$$
提示：注意 $O(1)$ 表示有界量，除以 $\ln n$ 后趋于零。
步骤 6/7
目标：合并得到渐近表达式
设 $C = a_1^2 + 2\gamma + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 a_k^2}$，则 $a_{n+1}^2 = 2\ln n + C + o(1)$。
公式：$a_{n+1}^2 = 2\ln n + C + o(1)$
提示：注意 $o(1)$ 包含调和级数余项和级数余项。
步骤 7/7
目标：取极限得出结论
由 $a_{n+1}^2 = 2\ln n + C + o(1)$，两边除以 $\ln n$ 得 $\frac{a_{n+1}^2}{\ln n} = 2 + \frac{C+o(1)}{\ln n} \to 2$。由于 $\ln(n+1) \sim \ln n$，故 $\frac{a_n^2}{\ln n} \to 2$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n^2}{\ln n} = 2$
提示：注意 $a_{n+1}^2$ 与 $a_n^2$ 的极限相同，因为 $\ln(n+1)/\ln n \to 1$。
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