东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意不同实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件和结论
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数。要证明 $f''(x) \ge 0$ 的充要条件是：对任意不同实数 $a
提示：注意 $a$ 和 $b$ 是任意不同的实数，不等式方向不能反。
步骤 2/4
目标：必要性证明：由 $f''(x) \ge 0$ 推导不等式
若 $f''(x) \ge 0$，则 $f$ 是凸函数。凸函数图像位于其任意切线上方。取中点 $c = \frac{a+b}{2}$，则对任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \ge f(c) + f'(c)(x-c)$。两边从 $a$ 到 $b$ 积分：$\int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b f(c) \, dx + f'(c) \int_a^b (x-c) \, dx$。由于 $\int_a^b (x-c) \, dx = 0$（奇函数在对称区间上积分为零），故 $\int_a^b f(x) \, dx \ge (b-a) f(c)$，即 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$。
公式：f(x) \ge f(c) + f'(c)(x-c), \quad \int_a^b (x-c) \, dx = 0
提示：凸函数的切线不等式是关键，注意积分中奇函数性质的应用。
步骤 3/4
目标：充分性证明：由不等式推导 $f''(x) \ge 0$（反证法）
假设存在点 $x_0$ 使得 $f''(x_0) < 0$。由二阶导数的连续性，存在 $\delta > 0$，使得在区间 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 上 $f''(x) < 0$，即 $f$ 在该区间上严格凹。对于严格凹函数，有相反的不等式：对任意 $a \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$。这与已知条件矛盾。因此假设不成立，故处处 $f''(x) \ge 0$。
公式：f''(x) < 0 \Rightarrow f\left(\frac{a+b}{2}\right) > \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx
提示：反证法需要利用凹函数的性质，注意二阶导数的连续性保证了局部严格凹性。
步骤 4/4
目标：总结结论
必要性：由 $f''(x) \ge 0$ 推出不等式成立；充分性：由不等式成立推出 $f''(x) \ge 0$。因此原命题得证。
公式：f''(x) \ge 0 \iff \forall a
提示：充要条件的证明需要双向推导，不可遗漏。
步骤 5/6
目标：利用积分中值定理和连续性得到 $f''(x_0) \ge 0$
由前一步，不等式 $\int_{x_0-h}^{x_0+h} f(t)\,dt - 2h f(x_0) \ge 0$ 化为 $\frac12 \int_{-h}^{h} f''(\xi_{x_0+u}) u^2\,du \ge 0$。由于 $f''$ 连续，由积分中值定理，存在 $\eta \in (-h, h)$ 使得 $\int_{-h}^{h} f''(\xi_{x_0+u}) u^2\,du = f''(\xi_{x_0+\eta}) \int_{-h}^{h} u^2\,du = f''(\xi_{x_0+\eta}) \cdot \frac{2h^3}{3}$。因为 $\frac{2h^3}{3} > 0$，所以 $f''(\xi_{x_0+\eta}) \ge 0$。令 $h \to 0^+$，由连续性得 $f''(x_0) \ge 0$。由于 $x_0$ 任意，故处处 $f''(x) \ge 0$。充分性得证。
公式：\int_{-h}^{h} f''(\xi_{x_0+u}) u^2\,du = f''(\xi_{x_0+\eta}) \cdot \frac{2h^3}{3}
提示：注意 $h \to 0$ 时 $\xi_{x_0+\eta} \to x_0$，连续性保证了极限成立。
步骤 6/6
目标：总结充要条件
综合必要性和充分性，原命题得证：$f''(x) \ge 0$ 当且仅当对任意不同实数 $a,b$，有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$。
提示：充要条件的证明需要双向推导，缺一不可。
步骤 7/7
目标：总结结论
必要性：由 $f''(x) \ge 0$（凸性）推出 Hermite–Hadamard 不等式成立。充分性：由不等式成立，通过局部泰勒展开和反证法推出 $f''(x) \ge 0$。因此，$f''(x) \ge 0$ 是所述不等式的充要条件。
公式：f''(x) \ge 0 \iff \forall a
提示：充要条件证明需双向论证，注意每一步的严格性。
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