东华大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．求积分 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 为椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6$ 的内侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲面积分表示为向量点积形式
令向量场 \(\mathbf{F} = \left( \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)\)，则原积分可写为 \(\displaystyle \oiint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)，其中 \(d\mathbf{S}\) 的方向为曲面的外侧法向。由于题目指定取内侧，最终结果需注意符号。
公式：\mathbf{F} = \left( \frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3} \right), \quad r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
提示：第二类曲面积分与向量点积的对应关系要熟练，注意曲面侧的方向影响积分符号。
步骤 2/6
目标：计算向量场的散度并判断奇点
计算散度：\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{r^3}\right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{y}{r^3}\right) + \dfrac{\partial}{\partial z}\left(\dfrac{z}{r^3}\right)\)。
对第一项：\(\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{r^3}\right) = \dfrac{r^3 - x \cdot 3r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} = \dfrac{r^2 - 3x^2}{r^5}\)。同理可得另外两项，相加得 \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \dfrac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = 0\)（当 \(r \neq 0\)）。原点 \((0,0,0)\) 处散度无定义，是奇点。
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = 0 \quad (r \neq 0)
提示：散度计算要仔细，注意分母幂次和链式法则。
步骤 3/6
目标：判断奇点是否在曲面内部
椭球面方程为 \(x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6\)，将原点 \((0,0,0)\) 代入左边得 \(0 < 6\)，故原点位于椭球内部。因此向量场在曲面所围区域内有奇点，不能直接对整个区域应用高斯公式。
公式：0 < 6 \Rightarrow \text{原点在椭球内部}
提示：判断奇点是否在封闭曲面内部是能否直接使用高斯公式的关键。
步骤 4/6
目标：挖去奇点，构造无源区域应用高斯公式
以原点为球心作半径为 \(\varepsilon\) 的小球面 \(S_\varepsilon: x^2+y^2+z^2 = \varepsilon^2\)，取外侧方向（相对于小球内部向外）。原曲面 \(\Sigma\) 取内侧，则 \(\Sigma\) 的内侧与 \(S_\varepsilon\) 的外侧共同围成一个无源区域（不含原点）。由高斯公式，该区域的总通量为零：
\[\iint_{\Sigma_{\text{内}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_{\varepsilon,\text{外}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0\]
因此 \(\displaystyle \iint_{\Sigma_{\text{内}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = - \iint_{S_{\varepsilon,\text{外}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)。
公式：\iint_{\Sigma_{\text{内}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = - \iint_{S_{\varepsilon,\text{外}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
提示：挖去奇点时，辅助曲面的方向要与原曲面配合，使得围成的区域内外侧一致。
步骤 5/6
目标：计算小球面上的积分
在小球面 \(r = \varepsilon\) 上，外侧单位法向量为 \(\mathbf{n} = \dfrac{(x,y,z)}{\varepsilon}\)，向量场为 \(\mathbf{F} = \dfrac{(x,y,z)}{\varepsilon^3}\)，故 \(\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = \dfrac{x^2+y^2+z^2}{\varepsilon^4} = \dfrac{\varepsilon^2}{\varepsilon^4} = \dfrac{1}{\varepsilon^2}\)。小球表面积为 \(4\pi \varepsilon^2\)，因此
\[\iint_{S_{\varepsilon,\text{外}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4\pi \varepsilon^2 = 4\pi\]
公式：\iint_{S_{\varepsilon,\text{外}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi
提示：注意小球面上 \(\mathbf{F}\) 与法向量共线，点积计算简洁。
步骤 6/6
目标：得出原积分结果
由第四步关系式，原曲面积分（内侧）为 \(\displaystyle \iint_{\Sigma_{\text{内}}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = -4\pi\)。
公式：\oiint_{\Sigma} \frac{x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = -4\pi
提示：最终答案负号源于曲面取内侧，若取外侧则结果为 \(4\pi\)。
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