东南大学 2020年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{-n}\right)^{n}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析极限形式
当\(n \to \infty\)时，\(2^{-n} \to 0\)，底数\(1+2^{-n} \to 1\)，指数\(n \to \infty\)，因此极限为\(1^\infty\)型未定式。
公式：\lim_{n \to \infty} (1+2^{-n})^{n}
提示：注意识别未定式类型，这是后续取对数处理的前提。
步骤 2/5
目标：取自然对数转化
设\(y_n = (1+2^{-n})^{n}\)，两边取自然对数得\(\ln y_n = n \ln(1+2^{-n})\)。这样将幂指函数极限转化为乘积形式。
公式：\ln y_n = n \ln(1+2^{-n})
提示：取对数是处理\(1^\infty\)型极限的常用技巧。
步骤 3/5
目标：应用等价无穷小替换
当\(x \to 0\)时，\(\ln(1+x) \sim x\)。这里\(2^{-n} \to 0\)，所以\(\ln(1+2^{-n}) \sim 2^{-n}\)。于是\(\ln y_n \sim n \cdot 2^{-n}\)。
公式：\ln(1+2^{-n}) \sim 2^{-n} \quad (n \to \infty)
提示：等价无穷小替换需确保变量趋于0，且替换后极限存在。
步骤 4/5
目标：计算对数部分的极限
考虑极限\(\lim_{n \to \infty} n \cdot 2^{-n}\)。由于指数函数\(2^n\)的增长速度远快于线性函数\(n\)，故\(n \cdot 2^{-n} = \frac{n}{2^n} \to 0\)。因此\(\lim_{n \to \infty} \ln y_n = 0\)。
公式：\lim_{n \to \infty} n \cdot 2^{-n} = 0
提示：可借助洛必达法则或已知结论：指数衰减快于多项式增长。
步骤 5/5
目标：还原原极限
由\(\lim_{n \to \infty} \ln y_n = 0\)，根据指数函数的连续性，得\(\lim_{n \to \infty} y_n = e^{0} = 1\)。
公式：\lim_{n \to \infty} (1+2^{-n})^{n} = e^{0} = 1
提示：注意指数函数\(e^x\)在\(x=0\)处连续，因此极限可交换。
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