东南大学 2020年数学分析第14题
📝 题目
14．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶可导， $\displaystyle \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ 且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 。证明： $\displaystyle \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件并设定符号
已知 $f(0)=0$，$f(1)=0$，且 $\min_{0\le x\le 1} f(x) = -1$。因此存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f(c) = -1$，且由极值必要条件，$f'(c)=0$。
公式：$f(c) = -1, \quad f'(c)=0$
提示：最小值点可能在区间内部，且可导函数在内部极值点处导数为零。
步骤 2/5
目标：在最小值点处应用泰勒展开
由于 $f$ 二阶可导，在 $x=c$ 处对任意 $x$ 进行带拉格朗日余项的一阶泰勒展开：存在介于 $c$ 和 $x$ 之间的 $\eta$，使得
$$f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2 = -1 + \frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2.$$
公式：$f(x) = -1 + \frac{f''(\eta)}{2}(x-c)^2$
提示：注意 $f'(c)=0$，所以一阶项消失。
步骤 3/5
目标：代入端点 x=0 和 x=1 得到两个不等式
代入 $x=0$：存在 $\eta_1$ 介于 $c$ 和 $0$ 之间，使得
$$0 = f(0) = -1 + \frac{f''(\eta_1)}{2} c^2 \Rightarrow f''(\eta_1) = \frac{2}{c^2}.$$
代入 $x=1$：存在 $\eta_2$ 介于 $c$ 和 $1$ 之间，使得
$$0 = f(1) = -1 + \frac{f''(\eta_2)}{2} (1-c)^2 \Rightarrow f''(\eta_2) = \frac{2}{(1-c)^2}.$$
公式：$f''(\eta_1) = \frac{2}{c^2}, \quad f''(\eta_2) = \frac{2}{(1-c)^2}$
提示：注意 $c$ 和 $1-c$ 均大于0，分母不为零。
步骤 4/5
目标：取最大值并求下界的最小值
二阶导数的最大值至少是这两个值中较大的一个：
$$\max_{0\le x\le 1} f''(x) \ge \max\left(\frac{2}{c^2}, \frac{2}{(1-c)^2}\right).$$
令 $g(c) = \max\left(\frac{2}{c^2}, \frac{2}{(1-c)^2}\right)$，$c \in (0,1)$。当 $\frac{2}{c^2} = \frac{2}{(1-c)^2}$ 时 $g(c)$ 取最小值，解得 $c = \frac12$，此时 $g\left(\frac12\right) = \frac{2}{(1/2)^2} = 8$。因此对任意 $c$，有 $\max f''(x) \ge 8$。
公式：$\max f''(x) \ge \max\left(\frac{2}{c^2}, \frac{2}{(1-c)^2}\right) \ge 8$
提示：两个正数中较大的一个的最小值出现在两者相等时。
步骤 5/5
目标：结论与等号成立条件
因此 $\displaystyle \max_{0\le x\le 1} f''(x) \ge 8$。等号成立的一个例子是 $f(x)=4x^2-4x$，此时 $c=\frac12$，$f''(x)\equiv 8$，满足所有条件。
公式：$\boxed{\max_{0\le x\le 1} f''(x) \ge 8}$
提示：等号成立需要 $c=1/2$ 且二阶导数为常数8。
步骤 6/6
目标：得出结论
由以上推导，$\max_{0 \le x \le 1} f''(x) \ge 8$，命题得证。
公式：$\max_{0 \le x \le 1} f''(x) \ge 8$
提示：等号成立的条件是 $c = \frac12$ 且 $f''(x)$ 在 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 处恰好取到最大值。
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