东南大学 2020年数学分析第15题
📝 题目
15．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(x) \leq \int_{0}^{x} f(t) d t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并转化条件
令 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，由于 $f$ 连续，$F$ 可导且 $F'(x) = f(x)$。已知条件 $f(x) \leq \int_0^x f(t) \, dt$ 变为 $F'(x) \leq F(x)$，且 $F(0)=0$，由 $f$ 非负知 $F(x) \geq 0$。
公式：F'(x) \leq F(x), \quad F(0)=0, \quad F(x) \geq 0
提示：注意 $F(x)$ 是非负的，这是后续推导的基础。
步骤 2/4
目标：利用积分因子处理微分不等式
将不等式 $F'(x) - F(x) \leq 0$ 两边乘以正的积分因子 $e^{-x}$，得到 $e^{-x}F'(x) - e^{-x}F(x) \leq 0$。左边恰好是 $\frac{d}{dx}\left(e^{-x}F(x)\right)$，因此 $\frac{d}{dx}\left(e^{-x}F(x)\right) \leq 0$。
公式：\frac{d}{dx}\left(e^{-x}F(x)\right) \leq 0
提示：乘以积分因子是处理一阶线性微分不等式的标准技巧，注意符号方向。
步骤 3/4
目标：由单调性和初值得出 $F(x) \equiv 0$
由 $\frac{d}{dx}\left(e^{-x}F(x)\right) \leq 0$ 知 $e^{-x}F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不增。又 $e^{-0}F(0)=0$，且 $e^{-x}F(x) \geq 0$（因为 $F(x) \geq 0$），所以对任意 $x \geq 0$ 有 $0 \leq e^{-x}F(x) \leq 0$，从而 $e^{-x}F(x)=0$，即 $F(x)=0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立。
公式：e^{-x}F(x) \equiv 0 \quad \Rightarrow \quad F(x) \equiv 0
提示：单调不增且起点为0的非负函数只能恒为0，这是关键推理。
步骤 4/4
目标：由 $F(x) \equiv 0$ 推出 $f(x) \equiv 0$
由 $F(x)=\int_0^x f(t)dt=0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，且 $f$ 连续非负，可知在任意区间 $[0,x]$ 上 $f(t) \equiv 0$。因此在整个 $[0,+\infty)$ 上 $f(x) \equiv 0$，特别地在任意子区间 $[a,b]$ 上也恒为零。
公式：\int_0^x f(t)dt = 0, \; f \geq 0 \text{ 连续 } \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：非负连续函数的积分为零意味着函数本身恒为零，这是实分析中的基本结论。
步骤 5/5
目标：由F(x)恒为零推出f(x)恒为零
由 $F(x) = \int_0^x f(t)\, dt = 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，且 $f$ 连续非负，则 $f(x) \equiv 0$（否则存在某点 $x_0$ 使 $f(x_0)>0$，由连续性存在邻域使积分 $>0$，矛盾）。因此对任意 $[a,b] \subset [0,+\infty)$，$f(x)=0$。
公式：\int_0^x f(t)\, dt = 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：连续性保证局部正性，非负性保证积分非负，两者结合推出恒零。
步骤 6/6
目标：推出f(x)=0
由于 $F(x) \equiv 0$，则 $f(x) = F'(x) \equiv 0$。特别地，对任意区间 $[a, b] \subset [0, +\infty)$，有 $f(x) \equiv 0$。
公式：$f(x) = F'(x)$
提示：注意 $F(x)$ 常数时导数为零。
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