东南大学 2020年数学分析第16题
📝 题目
16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 收玫。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件，得出逐点收敛的等价条件
已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对每个$x\in[a,b]$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}f^n(x)$收敛。由于该级数是几何级数$\sum_{n=1}^{\infty}[f(x)]^n$，其收敛的充要条件是公比的绝对值小于1，即$|f(x)|<1$。因此，对任意$x\in[a,b]$，有$|f(x)|<1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty}r^n$收敛$\iff |r|<1$
提示：注意$f^n(x)$表示$f(x)$的$n$次方，不是迭代函数。
步骤 2/4
目标：利用连续函数性质，得到最大值小于1
由于$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$|f(x)|$也在$[a,b]$上连续。闭区间上的连续函数必能取到最大值，设$M=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|$。由第一步知，对每个$x$都有$|f(x)|<1$，且最大值在某个点$x_0$处达到，故$M=|f(x_0)|<1$。若$M=1$，则在该点处级数发散，与条件矛盾。
公式：$M=\max_{x\in[a,b]}|f(x)|<1$
提示：闭区间上连续函数的最大值性质是核心，注意$M$严格小于1。
步骤 3/4
目标：构造优级数，应用Weierstrass判别法
对任意$x\in[a,b]$和任意正整数$n$，有$|f^n(x)|=|f(x)|^n\le M^n$。由于$0\le M<1$，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}M^n$是公比为$M$的几何级数，因此收敛。根据Weierstrass优级数判别法（M-判别法），若存在收敛的正项级数$\sum M_n$使得对一切$n$和$x$有$|u_n(x)|\le M_n$，则函数项级数$\sum u_n(x)$一致收敛。这里取$M_n=M^n$，即得$\sum_{n=1}^{\infty}f^n(x)$在$[a,b]$上一致收敛。
公式：$|f^n(x)|\le M^n$，$\sum_{n=1}^{\infty}M^n$收敛
提示：Weierstrass判别法要求优级数与$x$无关，这里$M$是常数，满足条件。
步骤 4/4
目标：总结证明结论
由以上三步，我们完成了证明：由$f(x)$连续及级数逐点收敛推出$|f(x)|<1$且最大值$M<1$，从而$|f^n(x)|\le M^n$，而$\sum M^n$收敛，由Weierstrass判别法知$\sum_{n=1}^{\infty}f^n(x)$在$[a,b]$上一致收敛。
公式：无新公式
提示：证明的关键在于将逐点收敛转化为全局一致的界，再使用优级数判别法。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$\sum_{n=1}^\infty f^n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
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