东南大学 2020年数学分析第17题
📝 题目
17．叙述有限覆盖定理，并用之证明任何有界无穷数列必有收敛子列。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：叙述有限覆盖定理
有限覆盖定理（Heine–Borel定理在实数上的形式）：设 \([a, b]\) 是一个闭区间，如果一族开区间 \(\{U_\alpha\}\)（\(\alpha\) 属于某个指标集）覆盖了 \([a, b]\)，即 \([a, b] \subseteq \bigcup_{\alpha} U_\alpha\)，那么可以从这族开区间中选出有限个开区间 \(U_1, U_2, \dots, U_n\)，使得它们仍然覆盖 \([a, b]\)，即 \([a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_i\)。
公式：[a, b] \subseteq \bigcup_{\alpha} U_\alpha \Rightarrow \exists \text{有限个} U_1, \dots, U_n \text{使得} [a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_i
提示：注意定理要求区间是闭区间，开覆盖中的开区间可以是任意多个，结论是存在有限子覆盖。
步骤 2/6
目标：设定有界无穷数列并假设无收敛子列
设数列 \(\{x_n\}\) 有界，则存在闭区间 \([a, b]\)，使得对所有 \(n\)，有 \(x_n \in [a, b]\)。假设这个数列没有收敛子列，即对于任意一点 \(x \in [a, b]\)，\(x\) 不是数列的聚点。
公式：x_n \in [a, b], \forall n \in \mathbb{N}
提示：聚点定义：若 \(x\) 是聚点，则 \(x\) 的任何邻域内都含有数列的无穷多项；反之，若 \(x\) 不是聚点，则存在一个邻域只含有限多项。
步骤 3/6
目标：构造开覆盖
由假设，对每个 \(x \in [a, b]\)，存在 \(\delta_x > 0\)，使得开区间 \(U_x = (x - \delta_x, x + \delta_x)\) 内只包含数列 \(\{x_n\}\) 的有限多项。这些开区间的全体 \(\{U_x \mid x \in [a, b]\}\) 显然覆盖了 \([a, b]\)。
公式：U_x = (x - \delta_x, x + \delta_x), \quad [a, b] \subseteq \bigcup_{x \in [a, b]} U_x
提示：每个 \(x\) 对应的 \(\delta_x\) 可能不同，但由聚点的否定性质保证存在。
步骤 4/6
目标：应用有限覆盖定理得到有限子覆盖
由有限覆盖定理，存在有限个点 \(x_1, x_2, \dots, x_k \in [a, b]\)，使得对应的开区间 \(U_{x_1}, U_{x_2}, \dots, U_{x_k}\) 仍然覆盖 \([a, b]\)，即 \([a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^k U_{x_i}\)。
公式：[a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^k (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})
提示：有限覆盖定理保证了从无限覆盖中能选出有限个开区间覆盖整个闭区间。
步骤 5/6
目标：推导矛盾
每个 \(U_{x_i}\) 中只包含数列 \(\{x_n\}\) 的有限多项，因此有限个这样的开区间的并集 \(\bigcup_{i=1}^k U_{x_i}\) 中也只包含数列的有限多项（有限个有限集的并仍是有限集）。但所有 \(x_n\) 都在 \([a, b]\) 中，而 \([a, b] \subseteq \bigcup_{i=1}^k U_{x_i}\)，所以所有 \(x_n\) 都落在这有限个开区间的并集中，从而数列只有有限项，这与 \(\{x_n\}\) 是无穷数列矛盾。
公式：\bigcup_{i=1}^k U_{x_i} \text{ 只含有限个 } x_n \Rightarrow \{x_n\} \text{ 为有限集，矛盾}
提示：注意：有限个有限集的并集仍是有限集，这是集合论的基本事实。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，原数列必有收敛子列。这就证明了任何有界无穷数列必有收敛子列（Bolzano–Weierstrass定理）。
提示：该证明是有限覆盖定理的一个典型应用，体现了从局部有限性到整体有限性的反证法思想。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此假设不成立，$\{x_n\}$ 必有收敛子列。
提示：反证法完成，结论成立。
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