东南大学 2020年数学分析第3题
📝 题目
3．$\displaystyle I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, ~ \Omega: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 围成的有界区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解积分区域并求交线
曲面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是开口向上的圆锥，顶点在原点，半顶角45°；曲面 $z = x^2 + y^2$ 是旋转抛物面，顶点也在原点。两曲面围成的有界区域是抛物面在下、圆锥在上。联立方程求交线：令 $r = \sqrt{x^2 + y^2} \ge 0$，则 $r = r^2$，解得 $r = 0$ 或 $r = 1$，对应 $z = 1$。因此交线为圆 $r = 1$，$z = 1$。区域在 $z$ 方向从 $z = r^2$ 到 $z = r$，$r$ 从 $0$ 到 $1$。
公式：$r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad z = r^2,\quad z = r$
提示：注意 $r \ge 0$，解方程 $r = r^2$ 时不要遗漏 $r=0$ 的解。
步骤 2/4
目标：选择坐标系并转化积分
由于被积函数和区域具有旋转对称性，采用柱坐标：$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta,\; z = z$，体积元 $dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$。被积函数 $x^2 \sqrt{x^2+y^2} = (r^2\cos^2\theta) \cdot r = r^3\cos^2\theta$。积分化为：
$$I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{z=r^2}^{r} r^3\cos^2\theta \cdot r\, dz\, dr\, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta \int_{0}^{1} r^4 \left( \int_{z=r^2}^{r} dz \right) dr$$
公式：$I = \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta \int_{0}^{1} r^4 (r - r^2)\, dr$
提示：体积元中的 $r$ 不要遗漏，被积函数中的 $r^3$ 乘上 $r$ 得 $r^4$。
步骤 3/4
目标：计算径向积分
先对 $z$ 积分：$\int_{z=r^2}^{r} dz = r - r^2$。于是径向积分为 $\int_{0}^{1} r^4 (r - r^2)\, dr = \int_{0}^{1} (r^5 - r^6)\, dr$。计算得：
$$\int_{0}^{1} r^5\, dr = \frac{1}{6},\quad \int_{0}^{1} r^6\, dr = \frac{1}{7},\quad \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$$
公式：$\int_{0}^{1} (r^5 - r^6)\, dr = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$
提示：注意幂函数积分公式 $\int r^n\, dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}$，代入上下限时小心计算。
步骤 4/4
目标：计算角度积分并得出结果
角度积分：$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\, d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi + 0 = \pi$。将两部分相乘得：$I = \pi \cdot \frac{1}{42} = \frac{\pi}{42}$。
公式：$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta\, d\theta = \pi,\quad I = \frac{\pi}{42}$
提示：利用倍角公式降幂，注意 $\cos 2\theta$ 在整周期积分为0。
步骤 5/5
目标：对 $\theta$ 积分并得到最终结果
计算角度积分：
$$\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$$
将两部分相乘得：
$$I = \pi \cdot \frac{1}{42} = \frac{\pi}{42}$$
公式：$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \pi$
提示：利用倍角公式降次，注意 $\cos 2\theta$ 在一个周期内积分为 $0$。
步骤 6/6
目标：相乘得最终结果
将角度积分和径向积分结果相乘：$I = \pi \cdot \frac{1}{42} = \frac{\pi}{42}$。
公式：$I = \pi \times \frac{1}{42}$
提示：最终结果化简为最简分数。
步骤 7/7
目标：合并结果
将 $\theta$ 积分和 $r$ 积分的结果相乘：
$$I = \pi \cdot \frac{1}{42} = \frac{\pi}{42}$$
提示：最终结果要化简为最简分数形式。
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