东南大学 2020年数学分析第5题

曲面方程为 $2 - z = x^2 + y^2$，且 $z \ge 1$。这是开口向下的旋转抛物面，在 $z=1$ 处截断。边界曲线 $L$ 是平面 $z=1$ 与曲面的交线。代入 $z=1$ 得 $2-1 = x^2+y^2$，即 $x^2+y^2=1$。因此 $L$ 是单位圆，位于平面 $z=1$ 上。曲面 $S$ 的上侧法向量指向 $z$ 轴正方向，按右手定则，曲线方向为从上往下看的逆时针方向。

斯托克斯公式： $$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_{S} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$$ 这里 $P=xyz,\ Q=\frac12 x^2,\ R=z$。计算偏导数： - $\frac{\partial R}{\partial y}=0,\ \frac{\partial Q}{\partial z}=0$，第一项为0。 - $\frac{\partial P}{\partial z}=xy,\ \frac{\partial R}{\partial x}=0$，第二项为 $xy$。 - $\frac{\partial Q}{\partial x}=x,\ \frac{\partial P}{\partial y}=xz$，第三项为 $x - xz = x(1-z)$。 因此： $$I = \iint_{S} xy\, dz\,dx + x(1-z)\, dx\,dy$$

曲面 $S$ 为 $z=2-x^2-y^2$，且 $x^2+y^2\le 1$。对于 $dz\,dx$ 项，利用 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy = -2x\,dx - 2y\,dy$，则 $dz\,dx = (-2x\,dx - 2y\,dy)\wedge dx = -2y\,dy\wedge dx = 2y\,dx\wedge dy$。因此： - $xy\,dz\,dx = xy\cdot 2y\,dx\,dy = 2xy^2\,dx\,dy$ - $x(1-z)\,dx\,dy = x(1-(2-x^2-y^2))\,dx\,dy = x(x^2+y^2-1)\,dx\,dy$ 被积函数合并： $$2xy^2 + x(x^2+y^2-1) = x^3 + 3xy^2 - x$$ 于是： $$I = \iint_{x^2+y^2\le 1} (x^3 + 3xy^2 - x)\,dx\,dy$$

积分区域 $x^2+y^2\le 1$ 是关于 $x$ 轴对称的圆盘。被积函数 $x^3 + 3xy^2 - x$ 中每一项都是 $x$ 的奇函数（因为 $x^3$、$xy^2$、$x$ 均关于 $x$ 为奇函数）。在对称区域上，奇函数的积分为0。因此： $$\iint_{x^2+y^2\le 1} (x^3 + 3xy^2 - x)\,dx\,dy = 0$$

原曲线积分 $I$ 的值为0。

原曲线积分 $\displaystyle I = \oint_{L} xyz\,dx + \frac{1}{2}x^2\,dy + z\,dz = 0$。

利用三角恒等式 $\cos\theta\cos2\theta = \frac{1}{2}(\cos3\theta + \cos\theta)$，则 $\int_0^{2\pi} \cos\theta\cos2\theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (\cos3\theta + \cos\theta) d\theta = 0$（因为 $\cos$ 函数在整周期积分为零）。同样 $\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0$。因此 $I = 0$。

因此 $I=0$。