东南大学 2020年数学分析第7题
📝 题目
7．$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x d x(n=0,1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算 a_n 的显式表达式
令 $t = \sin x$，则 $dt = \cos x \, dx$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$。于是积分化为 $a_n = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} t^n \, dt$。
公式：$a_n = \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} t^n \, dt$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $\cos x \, dx$ 恰好是 $dt$。
步骤 2/4
目标：求出 a_n 的具体形式
计算幂函数积分：$a_n = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{(\sqrt{2}/2)^{n+1}}{n+1}$。
公式：$a_n = \frac{(\sqrt{2}/2)^{n+1}}{n+1}$
提示：注意 $n$ 从 0 开始，分母为 $n+1$，不要遗漏指数。
步骤 3/4
目标：写出级数并转化为已知展开式
令 $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $S = \sum_{n=0}^{\infty} a_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{r^{n+1}}{n+1}$。令 $k = n+1$，则 $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{r^k}{k}$。这是 $ -\ln(1-r)$ 的麦克劳林展开。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{r^k}{k} = -\ln(1-r)$
提示：注意级数从 $k=1$ 开始，且 $|r|<1$ 时收敛，这里 $r=\frac{\sqrt{2}}{2}<1$。
步骤 4/4
目标：代入 r 并化简结果
代入 $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $S = -\ln\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\ln\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{2-\sqrt{2}}\right)$。有理化分母：$\frac{2}{2-\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2} = 2+\sqrt{2}$。
公式：$S = \ln(2+\sqrt{2})$
提示：有理化时注意分母为 $4-2=2$，不要算错。
步骤 5/6
目标：代入 r 的值并化简
代入 $r = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $S = -\ln\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\ln\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right) = \ln\left(\frac{2}{2-\sqrt{2}}\right)$。
公式：$S = \ln\left(\frac{2}{2-\sqrt{2}}\right)$
提示：注意对数的性质：$-\ln(a) = \ln(1/a)$。
步骤 6/6
目标：有理化分母得到最终结果
有理化：$\frac{2}{2-\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{2} = 2+\sqrt{2}$。因此 $S = \ln(2+\sqrt{2})$。
公式：$S = \ln(2+\sqrt{2})$
提示：有理化时注意分母平方差公式，避免计算错误。
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