东南大学 2020年数学分析第8题
📝 题目
8．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，有界数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 发散，指出 $\displaystyle \left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 发散的充要条件，并证明。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件并设定符号
设 $\{a_n\}$ 收敛，记 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$。$\{b_n\}$ 有界且发散，即存在 $M>0$ 使得 $|b_n| \leq M$ 对所有 $n$ 成立，但 $\{b_n\}$ 不收敛。
公式：$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，$|b_n| \leq M$
提示：注意有界发散数列可能振荡，如 $b_n = (-1)^n$。
步骤 2/5
目标：猜想充要条件
直观上，若 $A \neq 0$，则 $a_n$ 远离零，$a_n b_n$ 的行为由 $b_n$ 主导，应发散；若 $A = 0$，则 $a_n$ 趋于零，可能压制 $b_n$ 的振荡使乘积收敛。因此猜想充要条件是 $A \neq 0$。
提示：需严格证明两个方向。
步骤 3/5
目标：证明充分性：若 $A \neq 0$，则 $\{a_n b_n\}$ 发散
因为 $a_n \to A \neq 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时，$|a_n| > \frac{|A|}{2} > 0$。假设 $\{a_n b_n\}$ 收敛于 $L$，则当 $n > N$ 时，$b_n = \frac{a_n b_n}{a_n}$。由于分母有非零下界，分子收敛，由极限运算法则知 $b_n \to \frac{L}{A}$，这与 $\{b_n\}$ 发散矛盾。故 $\{a_n b_n\}$ 必发散。
公式：$|a_n| > \frac{|A|}{2}$，$b_n = \frac{a_n b_n}{a_n}$
提示：反证法，利用极限除法法则，注意分母不为零。
步骤 4/5
目标：证明必要性：若 $\{a_n b_n\}$ 发散，则 $A \neq 0$
用反证法。假设 $A = 0$，即 $a_n \to 0$。由于 $\{b_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $|b_n| \leq M$。于是 $|a_n b_n| \leq M |a_n| \to 0$，由夹逼定理知 $a_n b_n \to 0$，即 $\{a_n b_n\}$ 收敛，与发散矛盾。故 $A \neq 0$。
公式：$|a_n b_n| \leq M |a_n| \to 0$
提示：有界乘以无穷小仍为无穷小。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
综上，$\{a_n b_n\}$ 发散的充要条件是 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$。
提示：注意 $a_n$ 的极限必须存在且非零。
步骤 6/6
目标：证明充分性
若 $A \neq 0$，假设 $\{a_n b_n\}$ 收敛，则 $b_n = \dfrac{a_n b_n}{a_n}$ 收敛（因为分母极限非零），与 $\{b_n\}$ 发散矛盾。故 $\{a_n b_n\}$ 发散。
公式：$b_n = \dfrac{a_n b_n}{a_n}$
提示：充分性证明中需注意 $a_n$ 最终不为零。
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