东南大学 2020年数学分析第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle g: R \rightarrow R$ 二阶可导，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g^{\prime}(0), & x=0 \\ \frac{g(x)-\cos x}{x}, & x \neq 0^{\circ}\end{array}\right.$ 。
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续吗？
（2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并问 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 是否连续？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断 f(x) 在 x=0 处的连续性
函数定义为 $f(x)=\begin{cases} g'(0), & x=0 \\ \frac{g(x)-\cos x}{x}, & x \neq 0 \end{cases}$。要判断连续性，需计算 $\lim_{x\to 0} f(x)$ 是否等于 $f(0)=g'(0)$。由于 $g(0)=1$，$\cos 0=1$，分子分母均趋于 0，为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。应用洛必达法则（$g$ 二阶可导，一阶导数连续）：$\lim_{x\to 0} \frac{g(x)-\cos x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{g'(x)+\sin x}{1} = g'(0)+\sin 0 = g'(0)$。该极限等于 $f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$$\lim_{x\to 0} \frac{g(x)-\cos x}{x} = g'(0)$$
提示：注意洛必达法则的使用条件：分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为零。这里 $g$ 二阶可导保证了 $g'$ 连续，满足条件。
步骤 2/5
目标：求 x≠0 时 f'(x) 的表达式
当 $x \neq 0$ 时，$f(x)=\frac{g(x)-\cos x}{x}$。应用商法则求导：$f'(x)=\frac{(g'(x)+\sin x)\cdot x - (g(x)-\cos x)\cdot 1}{x^2}$。整理分子得 $x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x$，因此 $f'(x)=\frac{x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x}{x^2}$。
公式：$$f'(x)=\frac{x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x}{x^2}, \quad x \neq 0$$
提示：商法则中注意减号顺序：$(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$，这里 $u=g(x)-\cos x$，$v=x$。
步骤 3/5
目标：用导数定义求 f'(0)
由导数定义：$f'(0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{g(h)-\cos h}{h} - g'(0)}{h}$。通分得 $\lim_{h\to 0} \frac{g(h)-\cos h - h g'(0)}{h^2}$，为 $\frac{0}{0}$ 型。第一次洛必达：$\lim_{h\to 0} \frac{g'(h)+\sin h - g'(0)}{2h}$，分子仍趋于 0。第二次洛必达：$\lim_{h\to 0} \frac{g''(h)+\cos h}{2} = \frac{g''(0)+1}{2}$。故 $f'(0)=\frac{g''(0)+1}{2}$。
公式：$$f'(0)=\frac{g''(0)+1}{2}$$
提示：洛必达法则可连续使用，但每次使用前需确认仍为 $\frac{0}{0}$ 型。这里 $g$ 二阶可导保证了 $g''$ 存在，第二次洛必达有效。
步骤 4/5
目标：判断 f'(x) 在 x=0 处的连续性
需验证 $\lim_{x\to 0} f'(x) = f'(0)$。对于 $x \neq 0$，$f'(x)=\frac{x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x}{x^2}$。当 $x\to 0$ 时，分子分母均趋于 0，再次应用洛必达法则。分子导数为 $g'(x)+x g''(x)+\sin x+x\cos x - g'(x) - \sin x = x g''(x)+x\cos x$；分母导数为 $2x$。因此 $\lim_{x\to 0} f'(x) = \lim_{x\to 0} \frac{x g''(x)+x\cos x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{g''(x)+\cos x}{2} = \frac{g''(0)+1}{2}$。该极限等于 $f'(0)$，故 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$$\lim_{x\to 0} f'(x) = \frac{g''(0)+1}{2} = f'(0)$$
提示：求分子导数时需仔细逐项求导，注意 $x g'(x)$ 的导数为 $g'(x)+x g''(x)$，$x\sin x$ 的导数为 $\sin x + x\cos x$，$-g(x)$ 的导数为 $-g'(x)$，$\cos x$ 的导数为 $-\sin x$，合并后简化得到 $x g''(x)+x\cos x$。
步骤 5/5
目标：总结 f'(x) 的分段表达式
综合以上结果，$f'(x)$ 的分段表达式为：$$f'(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\ \displaystyle \frac{g''(0)+1}{2}, & x=0 \end{cases}$$ 并且 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$$f'(x)=\begin{cases} \frac{x g'(x) + x\sin x - g(x) + \cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\ \frac{g''(0)+1}{2}, & x=0 \end{cases}$$
提示：分段函数在分段点的导数必须用定义单独计算，不能直接代入求导公式。
步骤 6/7
目标：计算 $f'(0)$ 的极限
分子分母趋于0，使用洛必达法则：
$$\lim_{x\to 0} \frac{g'(x)+\sin x - g'(0)}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{g'(x)-g'(0)}{x} + \frac{1}{2} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} g''(0) + \frac{1}{2}.$$
所以 $f'(0)=\frac{1}{2}(g''(0)+1)$。
公式：洛必达法则；导数定义：$g''(0)=\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)-g'(0)}{x}$；$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意洛必达后分子是 $g'(x)+\sin x - g'(0)$，分母是 $2x$，然后拆分成两个极限。
步骤 7/7
目标：判断 $f'(x)$ 在 $x=0$ 的连续性
计算 $\lim_{x\to 0} f'(x)$：
$$\lim_{x\to 0} f'(x) = \lim_{x\to 0} \frac{xg'(x)+x\sin x - g(x)+\cos x}{x^2}.$$
分子分母趋于0，使用洛必达法则：
$$\lim_{x\to 0} \frac{g'(x)+x g''(x)+\sin x + x\cos x - g'(x) - \sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x g''(x)+ x\cos x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{g''(x)+\cos x}{2} = \frac{g''(0)+1}{2}.$$
因此 $\lim_{x\to 0} f'(x) = \frac{g''(0)+1}{2} = f'(0)$，故 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：洛必达法则；连续定义
提示：洛必达时注意分子求导要仔细，$xg'(x)$ 的导数是 $g'(x)+xg''(x)$，$x\sin x$ 的导数是 $\sin x + x\cos x$，$-g(x)+\cos x$ 的导数是 $-g'(x)-\sin x$，合并后简化。
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