东南大学 2020年数学分析第10题

题目给出：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，$\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$。问 $\varphi(x)$ 是否在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。我们需要判断这个结论是否必然成立。

函数 $g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon$。

已知 $f$ 一致连续，且 $f-\varphi$ 在无穷远处趋于0，但 $\varphi$ 的局部行为可能很剧烈。$\varphi$ 的连续性只保证逐点连续，不能直接推出一致连续。我们需要考虑 $\varphi$ 是否可能因为局部振荡而破坏一致连续性。

为了否定结论，我们构造一个反例：令 $f(x)=0$（常值函数，显然一致连续）。构造 $\varphi(x)$ 使其在 $[a,+\infty)$ 上连续，满足 $\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0$，但 $\varphi$ 在越来越窄的区间内剧烈振荡，从而不一致连续。

取 $a=0$，$f(x)=0$。定义 $\varphi(x)$ 如下：对每个正整数 $n$，在区间 $[n,\,n+\frac{1}{n}]$ 上令 $\varphi(x)=\sin\left(2\pi n^2 (x-n)\right)$，在其他点处令 $\varphi(x)=0$。则 $\varphi$ 在每个小区间上完成一个完整正弦周期，振幅为1，区间长度 $1/n\to0$。在连接点 $x=n$ 和 $x=n+1/n$ 处，$\varphi=0$，故 $\varphi$ 连续。且当 $x\to+\infty$ 时，除了这些长度趋于0的区间外 $\varphi=0$，所以 $\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0$，从而 $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$。

1. $f(x)=0$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续（常值函数）。2. $\varphi(x)$ 在每个小区间内连续，在端点处值为0，整体连续。3. 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $x>N$ 时，除了有限个小区间外 $\varphi(x)=0$，且小区间上的振幅为1但区间长度趋于0，故 $|\varphi(x)|$ 可以任意小，因此 $\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0$，从而差趋于0。

取 $\varepsilon=1/2$。对任意 $\delta>0$，取正整数 $n$ 满足 $1/n<\delta$。在区间 $[n,n+1/n]$ 内取两点 $x_1=n$，$x_2=n+\frac{1}{2n}$，则 $|x_1-x_2|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}<\delta$，但 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|=|0-\sin(\pi)|=1>\varepsilon$。因此 $\varphi$ 不一致连续。

由反例可知，即使满足题目所有条件，$\varphi(x)$ 也不一定一致连续。因此答案是否定的：$\varphi(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上不一定一致连续。