东南大学 2021年数学分析第6题
📝 题目
6．计算曲线积分
$$
I=\oint_{L} \frac{x}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} y .
$$
其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数与积分路径，判断奇点位置
被积函数为 $P = \frac{x}{x^2+y^2-2}$, $Q = \frac{y}{x^2+y^2-2}$。分母为零的条件是 $x^2+y^2=2$，即半径为 $\sqrt{2}$ 的圆周。积分路径 $L: x^2+y^2=4$ 是半径为 $2$ 的圆周，因此奇点曲线 $x^2+y^2=2$ 完全位于 $L$ 内部。由于被积函数在 $L$ 所围区域内不连续，不能直接使用格林公式。
公式：x^2+y^2=2
提示：注意奇点不是孤立点，而是一条曲线，格林公式要求函数在区域内连续可微，因此不可直接应用。
步骤 2/4
目标：采用参数化方法直接计算曲线积分
令 $x=2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$, $\theta: 0\to 2\pi$。则 $x^2+y^2=4$，分母 $x^2+y^2-2=2$。于是 $P = \frac{2\cos\theta}{2} = \cos\theta$, $Q = \frac{2\sin\theta}{2} = \sin\theta$。微分 $dx = -2\sin\theta\,d\theta$, $dy = 2\cos\theta\,d\theta$。
公式：x=2\cos\theta,\ y=2\sin\theta
提示：参数化时注意角度范围是 $0$ 到 $2\pi$，对应逆时针方向。
步骤 3/4
目标：计算被积表达式并积分
被积表达式为 $P\,dx+Q\,dy = \cos\theta\cdot(-2\sin\theta\,d\theta) + \sin\theta\cdot(2\cos\theta\,d\theta) = (-2\cos\theta\sin\theta+2\sin\theta\cos\theta)\,d\theta = 0$。因此 $I = \oint_L 0\,d\theta = 0$。
公式：\cos\theta\cdot(-2\sin\theta)+\sin\theta\cdot(2\cos\theta)=0
提示：计算过程中注意符号，两项恰好抵消。
步骤 4/4
目标：得出最终结论
曲线积分的结果为 $0$。
公式：I=0
提示：虽然路径内部有奇点，但在此特定圆上分母为常数，且被积函数组合后为零，积分简单。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
经过上述步骤，曲线积分的结果为 $0$。尽管积分区域内部存在奇点，但由于在积分路径上分母为常数且被积函数为恰当微分，直接计算得到零。
公式：I = 0
提示：注意：此结果并不与格林公式矛盾，因为格林公式要求区域内无奇点，而这里我们直接参数化计算避免了奇点问题。
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