📝 东南大学 2021年数学分析真题
第1题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}$ ．
第2题
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+2 \cos \sqrt{x}-3}{x^{2}}$ ．
第3题
3．（可能有误）试问微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x e^{y}=1$ 在何处有解？在有解时求出它的解．
第4题
4．求 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}(x, y, z>0)$ 的极值．
第5题
5．计算累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}-e^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ．
第6题
6．计算曲线积分
$$
I=\oint_{L} \frac{x}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} y .
$$
其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．
$$
I=\oint_{L} \frac{x}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} y .
$$
其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．
第7题
7．计算三重积分
$$
I=\iiint_{V} y \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=1, y=-\sqrt{x^{2}+z^{2}}$ 及 $\displaystyle y=1$ 所围成的区域．
$$
I=\iiint_{V} y \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=1, y=-\sqrt{x^{2}+z^{2}}$ 及 $\displaystyle y=1$ 所围成的区域．
第8题
8．求罙级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．
第9题
9．问函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收玫，并说明理由．
第10题
10．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调递增，且值域为 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
第11题
11．已知 $\displaystyle a_{1}>0$ ，且 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{4}{a_{n}}\right)$ ．
（1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限；
（2）考察级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的收玫性．
（1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限；
（2）考察级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的收玫性．
第12题
12．已知 $\displaystyle f_{x y}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y x}(x, y)$ 均在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，证明 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．
第13题
13．设 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，且无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
（1）证明存在趋近于 $\displaystyle +\infty$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
（2）请问是否一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？给出证明或反例．
（1）证明存在趋近于 $\displaystyle +\infty$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
（2）请问是否一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？给出证明或反例．
第14题
14．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上至少有两个零点．
第15题
15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．