东南大学 2021年数学分析第5题
📝 题目
5．计算累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}-e^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：纠正题目中的笔误，明确积分次序和区域
原题中内层积分变量写为 $\mathrm{d}y$，但积分限含有 $x$ 和 $y$，且外层也是 $\mathrm{d}y$，这显然是笔误。根据常规写法，应修正为：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}-e^{y^{2}}\right) \mathrm{d} x
$$
即先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。积分区域为：$0 \le y \le 1$，$y \le x \le 1$，这是一个三角形区域。
公式：$$\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}-e^{y^{2}}\right) \mathrm{d} x$$
提示：注意区分积分变量，内层积分变量应为 $x$，外层为 $y$。
步骤 2/5
目标：将累次积分拆分为两个部分
原积分可拆分为两个积分之差：
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} \frac{e^{x^{2}}}{x} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} e^{y^{2}} \, \mathrm{d}x
$$
对于第二部分，内层对 $x$ 积分时 $e^{y^{2}}$ 是常数，因此：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} e^{y^{2}} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} (1 - y) \, \mathrm{d}y
$$
公式：$$I = I_1 - \int_{0}^{1} e^{y^{2}} (1 - y) \, \mathrm{d}y, \quad I_1 = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} \frac{e^{x^{2}}}{x} \, \mathrm{d}x$$
提示：第二部分中 $e^{y^2}$ 与 $x$ 无关，可直接提出积分号。
步骤 3/5
目标：交换积分次序处理第一部分 $I_1$
第一部分 $I_1 = \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y}^{1} \frac{e^{x^{2}}}{x} \, \mathrm{d}x$ 的积分区域为：$0 \le y \le 1$，$y \le x \le 1$。交换积分次序后，$x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $0$ 到 $x$，于是：
$$
I_1 = \int_{0}^{1} \frac{e^{x^{2}}}{x} \left( \int_{0}^{x} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \frac{e^{x^{2}}}{x} \cdot x \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x
$$
公式：$$I_1 = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x$$
提示：交换次序时注意积分限的对应关系：$y$ 从 $0$ 到 $x$，$x$ 从 $0$ 到 $1$。
步骤 4/5
目标：合并两部分并化简
将 $I_1$ 的结果代入原式，并将第一个积分的变量名改为 $y$：
$$
I = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} \, \mathrm{d}x - \int_{0}^{1} e^{y^{2}} (1 - y) \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y - \int_{0}^{1} e^{y^{2}} (1 - y) \, \mathrm{d}y
$$
合并被积函数：
$$
I = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} \left[1 - (1 - y)\right] \, \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} y e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y
$$
公式：$$I = \int_{0}^{1} y e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y$$
提示：合并时注意 $1 - (1 - y) = y$，化简后积分形式简洁。
步骤 5/5
目标：计算最终积分并得出结果
计算 $\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y$。令 $u = y^2$，则 $\mathrm{d}u = 2y \, \mathrm{d}y$，当 $y=0$ 时 $u=0$，$y=1$ 时 $u=1$：
$$
\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} (e - 1)
$$
因此，原累次积分的值为 $\frac{e-1}{2}$。
公式：$$\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} \, \mathrm{d}y = \frac{e-1}{2}$$
提示：使用换元法时注意 $\mathrm{d}u = 2y \, \mathrm{d}y$，系数 $\frac{1}{2}$ 不要遗漏。
步骤 6/7
目标：合并并化简积分
将结果代入 $I$：
$$I = \int_{0}^{1} e^{x^{2}} dx - \int_{0}^{1} e^{y^{2}} (1 - y) dy$$
由于积分变量是哑变量，统一记为 $t$：
$$I = \int_{0}^{1} e^{t^{2}} dt - \int_{0}^{1} e^{t^{2}} (1 - t) dt = \int_{0}^{1} e^{t^{2}} \left[ 1 - (1 - t) \right] dt = \int_{0}^{1} t e^{t^{2}} dt$$
公式：$$I = \int_{0}^{1} t e^{t^{2}} dt$$
提示：合并时注意符号，$1 - (1 - t) = t$，简化后得到一个简单积分。
步骤 7/7
目标：计算最终积分
计算 $\int_{0}^{1} t e^{t^{2}} dt$：
令 $u = t^{2}$，则 $du = 2t dt$，$t dt = \frac{1}{2} du$。
当 $t=0$ 时 $u=0$，$t=1$ 时 $u=1$，于是：
$$\int_{0}^{1} t e^{t^{2}} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} du = \frac{1}{2} (e - 1)$$
公式：$$\int_{0}^{1} t e^{t^{2}} dt = \frac{1}{2} (e - 1)$$
提示：使用换元法，注意 $du = 2t dt$ 要正确替换，不要遗漏系数 $\frac{1}{2}$。
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