东南大学 2021年数学分析第4题
📝 题目
4．求 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}(x, y, z>0)$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察函数对称性并猜测极值点
函数 $f(x,y,z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ 在循环置换 $(x,y,z)\to(y,z,x)$ 下形式不变，因此极值很可能在 $x=y=z$ 时取得。令 $x=y=z=t>0$，则 $f(t,t,t)=3$，猜测最小值为 $3$。
公式：f(t,t,t)=3
提示：对称性常提示极值点位于变量相等处，但需后续严格证明。
步骤 2/4
目标：利用AM-GM不等式证明最小值
设 $a=\frac{x}{y},\; b=\frac{y}{z},\; c=\frac{z}{x}$，则 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$。由AM-GM不等式：$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$，即 $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3$。等号成立当且仅当 $a=b=c$，即 $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$，解得 $x=y=z$。
公式：\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3
提示：AM-GM不等式要求所有项非负，此处$x,y,z>0$满足条件；注意乘积化简后为1。
步骤 3/4
目标：判断极大值是否存在
考虑极限情况：固定 $y=z=1$，令 $x\to 0^+$，则 $\frac{x}{y}\to 0,\; \frac{y}{z}=1,\; \frac{z}{x}\to +\infty$，故 $f\to +\infty$；若令 $x\to +\infty$，则 $\frac{z}{x}\to 0,\; \frac{x}{y}\to +\infty$，同样趋于无穷。因此函数无上界，无极大值。
公式：\lim_{x\to 0^+} f(x,1,1)=+\infty
提示：开区域上函数可能无最大值，需通过极限或特殊路径验证。
步骤 4/4
目标：总结极值结论
由AM-GM不等式知 $f(x,y,z)\ge 3$，且等号在 $x=y=z>0$ 时取到，故 $3$ 是极小值（也是最小值）。由于函数无上界，无极小值以外的极值点，也无极大值。
公式：\min f(x,y,z)=3\quad (x=y=z>0)
提示：极小值即最小值，因为不等式给出了全局下界。
步骤 5/5
目标：判断极大值是否存在
考虑 $x \to 0^+$，则 $\frac{z}{x} \to +\infty$，函数值可任意大；或取 $x=1,y=1,z \to +\infty$，则 $\frac{y}{z} \to 0$，但 $\frac{z}{x} \to +\infty$，同样无上界。因此函数无极大值。
公式：\lim_{x\to 0^+} f = +\infty
提示：只需举出一个趋向无穷的例子即可说明无最大值。
步骤 6/6
目标：判断最大值是否存在
固定 $x = y = 1$，令 $z \to 0^+$，则 $\frac{z}{x} \to 0$，但 $\frac{y}{z} \to +\infty$，故 $f \to +\infty$。因此函数无上界，不存在极大值。
公式：\lim_{z \to 0^+} f(1, 1, z) = +\infty
提示：通过构造趋向边界的情形说明无最大值。
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