东南大学 2021年数学分析第3题
📝 题目
3．（可能有误）试问微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x e^{y}=1$ 在何处有解？在有解时求出它的解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程化为标准形式
原方程为 $y' + x e^{y} = 1$，移项得到 $y' = 1 - x e^{y}$。这是一个一阶非线性常微分方程，因为含有 $e^{y}$ 项。
公式：$y' = 1 - x e^{y}$
提示：注意方程是非线性的，不能直接使用一阶线性微分方程的公式，需要先进行变量替换。
步骤 2/5
目标：引入变量替换简化方程
令 $u = e^{-y}$，则 $y = -\ln u$，求导得 $y' = -\dfrac{u'}{u}$。代入原方程：$-\dfrac{u'}{u} + x e^{y} = 1$。由于 $e^{y} = \dfrac{1}{u}$，方程变为 $-\dfrac{u'}{u} + \dfrac{x}{u} = 1$。两边乘以 $u$（注意 $u > 0$，因为指数函数恒正），得到 $-u' + x = u$，整理得 $u' + u = x$。
公式：$u' + u = x$
提示：变量替换的关键是消去指数项，使方程变为线性。注意 $u > 0$ 的条件，这会影响解的存在区域。
步骤 3/5
目标：求解线性微分方程
方程 $u' + u = x$ 是一阶线性常微分方程。先解齐次方程 $u' + u = 0$，得通解 $u_h = C e^{-x}$。再用常数变易法或待定系数法求特解：设特解形式 $u_p = Ax + B$，代入得 $A + (Ax + B) = x$，比较系数得 $A = 1$，$A + B = 0$，所以 $B = -1$，特解为 $u_p = x - 1$。因此通解为 $u = C e^{-x} + x - 1$。
公式：$u = C e^{-x} + x - 1$
提示：求特解时，注意代入后要比较同次幂系数，不要遗漏常数项。
步骤 4/5
目标：回代原变量得到通解
由 $u = e^{-y}$，得 $e^{-y} = C e^{-x} + x - 1$。两边取自然对数，得到 $y = -\ln\left( C e^{-x} + x - 1 \right)$。这就是原微分方程的通解形式。
公式：$y = -\ln\left( C e^{-x} + x - 1 \right)$
提示：取对数时要注意真数必须为正，这直接关系到解的存在性。
步骤 5/5
目标：讨论解的存在条件
由于对数函数的定义域要求真数大于零，所以解存在的条件是 $C e^{-x} + x - 1 > 0$。其中 $C$ 是由初始条件确定的任意常数。例如，若给定初始条件 $y(x_0) = y_0$，则 $C = e^{x_0}\left( e^{-y_0} - x_0 + 1 \right)$，解存在的区间是满足 $C e^{-x} + x - 1 > 0$ 的 $x$ 的范围。这个区间依赖于初始点，可能是一个开区间或半无限区间。
公式：$C e^{-x} + x - 1 > 0$
提示：不要忘记 $u = e^{-y} > 0$ 是自动满足的，但真数条件才是解存在的关键。另外，$C$ 的符号会影响不等式的解集。
步骤 6/6
目标：总结解的形式与存在性
微分方程 $y' + x e^{y} = 1$ 的通解为 $y = -\ln\left( x - 1 + C e^{-x} \right)$，其中 $C$ 为任意常数。解在满足 $x - 1 + C e^{-x} > 0$ 的 $x$ 区间上存在。
公式：$y = -\ln\left( x - 1 + C e^{-x} \right)$
提示：解的存在区域依赖于初值条件，通常由初值 $(x_0, y_0)$ 确定 $C$ 后，再找出包含 $x_0$ 的最大开区间。
步骤 7/7
目标：确定解的存在条件
解存在的条件是 $x-1 + C e^{-x} > 0$，因为对数函数的真数必须为正。因此，解在满足该不等式的 $(x, C)$ 处存在。
提示：不要忘记对数定义域的限制，这是常见易错点。
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