东南大学 2021年数学分析第9题
📝 题目
9．问函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收玫，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项并分析逐点收敛性
设 $u_n(x)=(-1)^n(1-x)x^n$。当 $x=1$ 或 $x=0$ 时，每一项均为 $0$，级数收敛于 $0$。当 $0
公式：$u_n(x)=(-1)^n(1-x)x^n$
提示：注意端点 $x=0,1$ 需单独验证，不能直接使用莱布尼茨判别法。
步骤 2/5
目标：求和函数表达式
当 $|x|<1$ 时，$\sum_{n=1}^\\infty (-1)^n(1-x)x^n = (1-x)\\sum_{n=1}^\\infty (-x)^n = (1-x)\\cdot\\frac{-x}{1+x} = -\\frac{x(1-x)}{1+x}$。该表达式在 $x=0,1$ 时也给出 $0$，故和函数 $S(x)=-\\frac{x(1-x)}{1+x},\\ x\\in[0,1]$。
公式：$S(x)=-\\frac{x(1-x)}{1+x}$
提示：几何级数求和时注意首项和公比，以及收敛域。
步骤 3/5
目标：利用交错级数余项估计
由于级数是交错级数且通项绝对值递减，余项满足 $|R_n(x)|=|S(x)-S_n(x)|\\le |u_{n+1}(x)|=(1-x)x^{n+1}$。因此要证一致收敛，只需证 $\\sup_{x\\in[0,1]}(1-x)x^{n+1}\\to 0\\ (n\\to\\infty)$。
公式：$|R_n(x)|\\le (1-x)x^{n+1}$
提示：交错级数余项估计是常用技巧，注意前提是通项绝对值单调递减。
步骤 4/5
目标：求函数 $f(x)=(1-x)x^{n+1}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值
令 $f(x)=(1-x)x^{n+1}$，求导得 $f'(x)=x^n[-(n+1)+(n+2)x]$。令 $f'(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\\frac{n+1}{n+2}$。最大值在 $x=\\frac{n+1}{n+2}$ 处取得：$f_{\\max}=f\\left(\\frac{n+1}{n+2}\\right)=\\frac{1}{n+2}\\left(\\frac{n+1}{n+2}\\right)^{n+1}$。
公式：$f_{\\max}=\\frac{1}{n+2}\\left(\\frac{n+1}{n+2}\\right)^{n+1}$
提示：求导时注意幂函数求导法则，并检查边界点。
步骤 5/5
目标：分析最大值极限并得出结论
由于 $\\left(\\frac{n+1}{n+2}\\right)^{n+1}=\\frac{1}{\\left(1+\\frac{1}{n+1}\\right)^{n+1}}\\to\\frac{1}{e}$，故 $f_{\\max}\\sim\\frac{1}{n+2}\\cdot\\frac{1}{e}\\to 0$。因此余项上确界趋于 $0$，级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$\\lim_{n\\to\\infty}\\sup_{x\\in[0,1]}|R_n(x)|=0$
提示：极限 $\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^n\\to e$ 是常用结论，注意指数调整。
步骤 6/6
目标：计算极限并判断一致收敛性
由于 $\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}} \to \frac{1}{e}$，故 $f_{\max} \sim \frac{1}{e(n+2)} \to 0$（$n\to\infty$）。因此 $\sup_{x\in[0,1]}|R_n(x)| \to 0$，级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]}|R_n(x)| = 0$
提示：注意 $x=1$ 处余项为0，不影响上确界。一致收敛的充要条件是余项上确界趋于0。
步骤 7/7
目标：判断最大值是否趋于零
当 $N\to\infty$ 时，$\left(\frac{N+1}{N+2}\right)^{N+1} \to e^{-1}$，因此
$$f_{\max} \sim \frac{1}{e(N+2)} \to 0$$
故 $\sup_{x\in[0,1]}|R_N(x)| \to 0$，由一致收敛的定义，级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$$\lim_{N\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|R_N(x)| = 0$$
提示：一致收敛的充要条件是余项上确界趋于零。
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