东南大学 2021年数学分析第10题

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，且值域为 $[f(a), f(b)]$。用反证法证明连续性。假设存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $f$ 在 $x_0$ 处不连续。由于单调递增，左极限 $f(x_0^-)$ 和右极限 $f(x_0^+)$ 存在，且满足 $f(x_0^-) \leq f(x_0) \leq f(x_0^+)$。不连续意味着至少有一个不等式严格成立，例如 $f(x_0^-) < f(x_0)$。则对于任意 $x < x_0$，有 $f(x) \leq f(x_0^-)$，而 $f(x_0)$ 大于 $f(x_0^-)$，因此区间 $(f(x_0^-), f(x_0))$ 中的数不在值域中，与值域为 $[f(a), f(b)]$ 矛盾。类似可证 $f(x_0) < f(x_0^+)$ 的情况。端点 $a$ 和 $b$ 处类似可证连续。因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。

由第一步知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。根据康托尔定理（Cantor's theorem）：闭区间上的连续函数必一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

由连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，每一点 $x \in [a,b]$ 都存在 $\delta_x > 0$，使得当 $|y - x| < \delta_x$ 时，$|f(y) - f(x)| < \varepsilon/2$。考虑开区间族 $\{ (x - \delta_x/2, x + \delta_x/2) \mid x \in [a,b] \}$，它们覆盖闭区间 $[a,b]$。由有限覆盖定理，存在有限个点 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 使得对应的开区间覆盖 $[a,b]$。取 $\delta = \min\{ \delta_{x_i}/2 \mid i=1,\dots,n \} > 0$。则对任意 $u, v \in [a,b]$ 满足 $|u - v| < \delta$，存在某个 $x_k$ 使得 $u$ 属于 $(x_k - \delta_{x_k}/2, x_k + \delta_{x_k}/2)$，于是 $|u - x_k| < \delta_{x_k}/2$，且 $|v - x_k| \leq |v - u| + |u - x_k| < \delta + \delta_{x_k}/2 \leq \delta_{x_k}/2 + \delta_{x_k}/2 = \delta_{x_k}$，从而 $|f(u) - f(x_k)| < \varepsilon/2$ 且 $|f(v) - f(x_k)| < \varepsilon/2$，由三角不等式得 $|f(u) - f(v)| < \varepsilon$。故 $f$ 一致连续。

综上，由连续性及闭区间上连续函数一致连续定理，或直接利用单调性构造δ，均可得 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

由于 $[a, b]$ 是闭区间，且已证 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，根据一致连续性定理（Cantor定理），连续函数在闭区间上一致连续。因此 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续。