东南大学 2021年数学分析第11题

由均值不等式，对任意 $n \ge 1$，有 $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{4}{a_n}\right) \ge \sqrt{a_n \cdot \frac{4}{a_n}} = 2$。因此对所有 $n \ge 2$，$a_n \ge 2$ 成立。

当 $a_n \ge 2$ 时，计算差值：$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{4}{a_n}\right) - a_n = \frac{1}{2}\left(-a_n + \frac{4}{a_n}\right) = \frac{4 - a_n^2}{2a_n} \le 0$。因此从 $n \ge 2$ 起数列单调递减。

数列从第二项起单调递减且有下界2，故收敛。设极限为 $L$，对递推式两边取极限：$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{4}{L}\right)$，解得 $L^2 = 4$。由 $L \ge 2$ 得 $L = 2$。

通项 $\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 = \frac{a_n - a_{n+1}}{a_{n+1}}$。由递推式得 $a_n - a_{n+1} = \frac{a_n^2 - 4}{2a_n}$，且 $a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 4}{2a_n}$，代入得 $\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 = \frac{a_n^2 - 4}{a_n^2 + 4}$。

令 $b_n = a_n - 2$，当 $n$ 大时 $b_n$ 很小。由递推可得 $b_{n+1} = \frac{b_n^2}{2a_n}$，故 $b_n$ 以平方速度衰减（二阶收敛）。此时 $\frac{a_n^2 - 4}{a_n^2 + 4} = \frac{(a_n-2)(a_n+2)}{a_n^2+4} \sim \frac{4b_n}{8} = \frac{b_n}{2}$。由于 $b_n$ 衰减极快（快于任何等比数列），级数 $\sum b_n$ 收敛，从而原级数绝对收敛。

由于 $b_n$ 衰减快于任何等比数列，故 $\sum b_n$ 收敛，从而 $\sum \frac{b_n}{2}$ 收敛。由比较判别法，原级数 $\sum \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛。也可直接利用 $a_{n+1}^2 - 4 = \frac{(a_n^2-4)^2}{4a_n^2}$ 得到平方递缩，从而级数收敛。