东南大学 2021年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+2 \cos \sqrt{x}-3}{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断极限类型
当 $x \to 0$ 时，$e^x \to 1$，$\cos\sqrt{x} \to 1$，分子 $e^x + 2\cos\sqrt{x} - 3 \to 1+2-3=0$，分母 $x^2 \to 0$，因此极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。
公式：\lim_{x \to 0} (e^x + 2\cos\sqrt{x} - 3) = 0, \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0
提示：注意 $\cos\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处连续，可直接代入。
步骤 2/5
目标：展开 $e^x$ 到足够高阶
使用泰勒展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。由于分母是 $x^2$，展开到 $x^3$ 项以确保抵消后能准确得到 $x^2$ 系数。
公式：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)
提示：展开阶数应至少比分母高一次，此处展开到 $x^3$ 是安全的。
步骤 3/5
目标：展开 $\cos\sqrt{x}$ 到足够高阶
令 $t = \sqrt{x}$，则 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \frac{t^6}{720} + O(t^8)$。代回 $t = \sqrt{x}$ 得：$\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^3}{720} + O(x^4)$。
公式：\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^3}{720} + O(x^4)
提示：注意 $t^2 = x$，$t^4 = x^2$，$t^6 = x^3$，展开时不要遗漏符号。
步骤 4/5
目标：代入分子并合并同类项
分子为 $e^x + 2\cos\sqrt{x} - 3$。代入展开式：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
$2\cos\sqrt{x} = 2 - x + \frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{360} + O(x^4)$
相加得：
$(1+2-3) + (x - x) + \left(\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{12}\right) + \left(\frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{360}\right) + O(x^4)$
化简：常数项为 $0$，一次项为 $0$，二次项为 $\frac{7}{12}x^2$，三次项为 $\frac{59}{360}x^3$。
公式：e^x + 2\cos\sqrt{x} - 3 = \frac{7}{12}x^2 + \frac{59}{360}x^3 + O(x^4)
提示：合并时注意分数通分：$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$，$\frac{1}{12} = \frac{1}{12}$，和为 $\frac{7}{12}$；三次项通分分母取360。
步骤 5/5
目标：求极限
原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{12}x^2 + \frac{59}{360}x^3 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{7}{12} + \frac{59}{360}x + O(x^2)\right)$。当 $x \to 0$ 时，含 $x$ 的项趋于 $0$，故极限为 $\frac{7}{12}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}+2 \cos \sqrt{x}-3}{x^{2}} = \frac{7}{12}
提示：注意 $O(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小，除以 $x^2$ 后仍趋于 $0$。
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