东南大学 2021年数学分析第8题

原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^{n}}$。当 $x \neq 0$ 时，可提取因子 $\frac{1}{x}$ 改写为 $\displaystyle \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 2^{n}}$。但需注意 $x=0$ 的情况需单独处理。

使用比值审敛法。设通项 $a_n(x) = \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$，计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^n}{(n+1)2^{n+1}} \cdot \frac{n 2^n}{x^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x \cdot n}{(n+1) \cdot 2} \right| = \frac{|x|}{2}$。当 $\frac{|x|}{2} < 1$ 即 $|x| < 2$ 时绝对收敛，$|x| > 2$ 时发散，故收敛半径 $R = 2$。

当 $x = 2$ 时，级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}$，为调和级数乘常数，发散。当 $x = -2$ 时，级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n-1}}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n}$，为交错调和级数乘常数，条件收敛。因此收敛域为 $[-2, 2)$。

设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^n}$，当 $x \neq 0$ 时，令 $T(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 2^n}$，则 $S(x) = \frac{T(x)}{x}$。利用已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$，取 $t = \frac{x}{2}$，得 $T(x) = -\ln\left(1 - \frac{x}{2}\right)$，$|x| < 2$。因此 $S(x) = -\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right)$，$0 < |x| < 2$。

当 $x=0$ 时，原级数只有 $n=1$ 项非零：$\frac{0^0}{1 \cdot 2^1} = \frac{1}{2}$（约定 $0^0=1$），故 $S(0) = \frac{1}{2}$。而 $S(x) = -\frac{1}{x} \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right)$ 在 $x \to 0$ 时的极限为 $\frac{1}{2}$，因此可补充定义。在端点 $x=-2$ 处，代入公式得 $S(-2) = -\frac{1}{-2} \ln\left(1 - \frac{-2}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln 2$，与直接计算一致。最终和函数为分段形式。

对 $T'(x)$ 从 $0$ 到 $x$ 积分： $$T(x) = \int_0^x \frac{1}{2 - t} \, dt = -\ln(2 - t) \Big|_0^x = -\ln(2 - x) + \ln 2 = \ln\frac{2}{2 - x}, \quad |x| < 2.$$

当 $x \neq 0$ 且 $|x| < 2$ 时，$S(x) = \frac{T(x)}{x} = \frac{1}{x} \ln\frac{2}{2 - x}$。当 $x = 0$ 时，原级数第一项为 $\frac{0^{0}}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$，其余项为 $0$，故 $S(0) = \frac{1}{2}$。且 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\frac{2}{2 - x} = \frac{1}{2}$（可用洛必达法则验证），因此和函数可统一表示为分段形式。