东南大学 2021年数学分析第12题

设 $h, k \neq 0$ 足够小，使得 $(x_0+h, y_0+k)$ 在定义域内。定义差商： $$ \Delta(h,k) = f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0+k) + f(x_0, y_0) $$ 这个表达式可以看作两次差分，我们将从两个不同顺序应用中值定理。

令 $\phi(x) = f(x, y_0+k) - f(x, y_0)$，则 $\Delta(h,k) = \phi(x_0+h) - \phi(x_0)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，使得 $$ \Delta(h,k) = \phi'(\xi) \cdot h $$ 而 $\phi'(\xi) = f_x(\xi, y_0+k) - f_x(\xi, y_0)$。

对 $f_x(\xi, y_0+k) - f_x(\xi, y_0)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta$ 介于 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间，使得 $$ f_x(\xi, y_0+k) - f_x(\xi, y_0) = f_{xy}(\xi, \eta) \cdot k $$ 因此 $$ \Delta(h,k) = f_{xy}(\xi, \eta) \cdot h k $$ 其中 $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，$\eta$ 在 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间。

令 $\psi(y) = f(x_0+h, y) - f(x_0, y)$，则 $\Delta(h,k) = \psi(y_0+k) - \psi(y_0)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\eta_1$ 介于 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间，使得 $$ \Delta(h,k) = \psi'(\eta_1) \cdot k $$ 而 $\psi'(\eta_1) = f_y(x_0+h, \eta_1) - f_y(x_0, \eta_1)$。

对 $f_y(x_0+h, \eta_1) - f_y(x_0, \eta_1)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，使得 $$ f_y(x_0+h, \eta_1) - f_y(x_0, \eta_1) = f_{yx}(\xi_1, \eta_1) \cdot h $$ 因此 $$ \Delta(h,k) = f_{yx}(\xi_1, \eta_1) \cdot h k $$ 其中 $\xi_1$ 在 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，$\eta_1$ 在 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间。

由前两步得到： $$ f_{xy}(\xi, \eta) \cdot h k = f_{yx}(\xi_1, \eta_1) \cdot h k $$ 由于 $h \neq 0, k \neq 0$，两边除以 $hk$ 得 $$ f_{xy}(\xi, \eta) = f_{yx}(\xi_1, \eta_1) $$ 现在令 $h \to 0, k \to 0$，则 $\xi, \xi_1 \to x_0$，$\eta, \eta_1 \to y_0$。由已知条件，$f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，因此 $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} f_{xy}(\xi,\eta) = f_{xy}(x_0,y_0), \quad \lim_{(h,k)\to(0,0)} f_{yx}(\xi_1,\eta_1) = f_{yx}(x_0,y_0) $$ 于是得到 $$ f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0) $$

同一个差商的极限既等于 $f_{xy}(x_0,y_0)$ 又等于 $f_{yx}(x_0,y_0)$，因此 $$ f_{xy}(x_0,y_0) = f_{yx}(x_0,y_0). $$