东南大学 2021年数学分析第13题
📝 题目
13．设 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，且无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
（1）证明存在趋近于 $\displaystyle +\infty$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
（2）请问是否一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？给出证明或反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析题目条件与第一问的证明思路
已知 $f(x) \geq 0$ 且 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。要证明存在数列 $\{x_n\} \subset [0,+\infty)$ 趋于 $+\infty$ 使得 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$。采用反证法：假设不存在这样的数列，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和 $M > 0$，使得对所有 $x \geq M$ 都有 $f(x) \geq \varepsilon_0$。
提示：注意反证法的使用条件：如果对所有充分大的 $x$ 函数值有正下界，则积分发散。
步骤 2/7
目标：用反证法推导矛盾
由假设，$\int_M^{+\infty} f(x) \, dx \geq \int_M^{+\infty} \varepsilon_0 \, dx = +\infty$，这与 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛矛盾。因此假设不成立，必存在趋于无穷的数列 $\{x_n\}$ 使得 $f(x_n) \to 0$。
公式：\int_M^{+\infty} f(x) \, dx \geq \varepsilon_0 \int_M^{+\infty} dx = +\infty
提示：注意积分收敛的必要条件：当 $x \to +\infty$ 时被积函数必须趋于0，但这里不是直接推出，而是通过反证得到存在子列趋于0。
步骤 3/7
目标：第一问的严谨表述
由积分收敛，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 0$ 使得 $\int_A^{+\infty} f(x) \, dx < \varepsilon$。若对所有 $x \geq A$ 有 $f(x) \geq \delta > 0$，则 $\int_A^{+\infty} f(x) \, dx \geq \delta \cdot (+\infty) = +\infty$，矛盾。故存在任意大的 $x$ 使 $f(x)$ 任意小，从而可构造所需数列。
提示：构造数列时，可令 $x_n$ 为满足 $f(x_n) < 1/n$ 且 $x_n > n$ 的点。
步骤 4/7
目标：第二问：判断是否一定有极限为0
不一定。需要构造反例：一个非负函数，积分收敛，但 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在或不为0。
提示：反例通常利用“尖峰”函数，每个尖峰面积很小但高度可以很大。
步骤 5/7
目标：构造反例函数
定义 $f(x) = \begin{cases} n, & x \in [n, n + \frac{1}{n^3}], \ n=1,2,3,\dots \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。每个尖峰高度为 $n$，宽度为 $1/n^3$，面积为 $n \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{n^2}$。
公式：\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < +\infty
提示：注意尖峰宽度必须足够小以保证级数收敛，例如 $1/n^2$ 或更小。
步骤 6/7
目标：验证反例满足条件
$f(x) \geq 0$ 显然。积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < +\infty$，收敛。但取 $x_n = n$，则 $f(x_n) = n \to +\infty$，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在（也不为0）。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
提示：注意反例中 $f(x)$ 在无穷远处并不趋于0，甚至无界，但积分仍收敛。
步骤 7/7
目标：总结第二问答案
因此，不一定有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。反例表明，即使积分收敛，函数在无穷远处也可以有任意大的值，只要这些大值出现在足够稀疏的区间上。
提示：这个反例也说明积分收敛不能推出被积函数在无穷远处趋于0，只能推出存在子列趋于0。
步骤 8/8
目标：验证极限不存在
当$x$取$n$时，$f(n)=1$，因此$\limsup_{x\to+\infty}f(x)=1$，而$\liminf_{x\to+\infty}f(x)=0$，故$\lim_{x\to+\infty}f(x)$不存在，更不为0。
提示：注意极限存在要求唯一，这里上下极限不等。
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